D. Valid BFS? - 题解

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比赛: Manthan, Codefest 18 (rated, Div. 1 + Div. 2) 标签: dfs and similar, graphs, shortest paths, trees 难度: *1700

题目大意喵~

主人你好呀~ 这道题是关于图论的呢！(ฅ'ω'ฅ)

题目给了我们一棵有 n 个节点的树，还有一串长度为 n 的节点序列 a。我们的任务是判断，这串序列 a 有没有可能是一次从节点 1 开始的广度优先搜索（BFS）的遍历结果呐。

BFS 的规则是：

1. 从队列里拿出队首的节点 v。
2. 把它记录到遍历序列里。
3. 以任意顺序，把 v 的所有还没访问过的邻居节点，加入到队列的末尾。

因为第三步的顺序是任意的，所以从同一个节点开始的 BFS 可能会产生很多种不同的遍历序列。我们就是要检查给定的序列 a 是不是其中一种合法的可能~

解题思路，喵！ (My Purr-fect Strategy!)

要解决这个问题，我们首先要抓住 BFS 的核心性质！BFS 最重要的特点就是分层遍历，的说。

想象一下，从节点 1 出发，所有和 1直接相连的节点（深度为1）一定会在节点 1 之后、并且在深度为 2 的任何节点之前被访问。这是一个雷打不动的规矩，喵！

更进一步地，对于同一个父节点 u，它的所有子节点（在 BFS 树中，也就是 u 的邻居且深度比 u 大 1 的节点）在遍历序列中，不一定紧跟在 u 后面，但它们一定会被打包在一起，形成一个连续的区块。这个区块内部的顺序可以是任意的，但这个区块整体一定出现在更深层节点的区块之前。

举个栗子！(๑•̀ω•́)و✧ 假设节点 u 和 v 都是同一层的，u 在 v 之前被访问。那么在遍历序列中，会先出现 u，然后是 u 的所有孩子们（顺序任意），然后是 v，然后是 v 的所有孩子们（顺序任意）。

所以，我们的策略就清晰啦：

1. 确定基准结构：我们先自己从节点 1 跑一次标准的 BFS，目的是确定每个节点的深度（depth）。这个深度是唯一的，任何合法的 BFS 遍历都必须严格遵守这个深度顺序。

2. 逐层验证序列 a：现在我们来检查给定的序列 a 是不是遵守了这个结构。我们可以用两个指针（或者叫游标）来模拟这个过程：

   • parent_cursor：指向序列 a 中当前正在处理的父节点。
   • child_cursor：指向序列 a 中，当前父节点的孩子们应该开始的位置。

   我们从 parent_cursor = 0 开始（也就是节点 a[0]，必须是 1 哦！）。设当前父节点是 u = a[parent_cursor]。

   • 首先，我们在原图中找到 u 的所有“真正的”孩子。哪些是它的孩子呢？就是那些与 u 相邻，并且深度比 u 大 1 的节点。我们把这些孩子节点收集起来。
   • 然后，我们看看序列 a。假设 u 有 k 个孩子，那么序列 a 中从 child_cursor 开始的 k 个节点，就应该是 u 的这 k 个孩子。
   • 因为孩子们的访问顺序是任意的，所以我们不需要关心这 k 个节点的顺序，只需要关心集合是否相等。也就是说，a 中声明的这 k 个孩子，和我们从图里找到的 k 个孩子，是不是同一批节点。
   • 使用 std::set 来比较两个集合是不是相等，简直是太方便了，喵~
   • 如果检查通过，我们就把 parent_cursor 向后移动一位，去处理下一个父节点。同时，child_cursor 要跳过刚刚验证过的 k 个孩子，即 child_cursor += k。
   • 如果在任何一步检查失败，或者 child_cursor 超出了序列 a 的范围，那就说明这个序列不合法，直接输出 "No"。

如果 parent_cursor 成功地遍历完了整个序列 a，都没有发现任何问题，那就说明这个序列是完全合法的！输出 "Yes" 就好啦~

代码实现，一起来写吧！

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <set>

void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;

    // 用邻接表来存这棵树，喵~
    std::vector<std::vector<int>> adj(n + 1);
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        int u, v;
        std::cin >> u >> v;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }

    // 读入需要检查的序列 a
    std::vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        std::cin >> a[i];
    }

    // BFS 必须从节点 1 开始，这是第一条规矩！
    if (a[0] != 1) {
        std::cout << "No\n";
        return;
    }

    // 步骤 1: 跑一次标准的 BFS，来确定每个节点的深度。
    // 这会给我们一个基准的 BFS 树结构，任何合法的遍历都必须遵守这些层级关系。
    std::vector<int> depth(n + 1, -1);
    std::queue<int> q;

    depth[1] = 0;
    q.push(1);

    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();

        for (int v : adj[u]) {
            if (depth[v] == -1) { // 如果邻居还没被访问过
                depth[v] = depth[u] + 1; // 它的深度就是父节点深度+1
                q.push(v);
            }
        }
    }

    // 步骤 2: 验证给定的序列 `a`。
    // 我们遍历 `a`，把它看作是出队顺序。
    // 对于从 `a` 中取出的每个节点 `u`，它的孩子们必须组成 `a` 中的下一个区块。
    int parent_cursor = 0; // 指向 `a` 中当前父节点的索引
    int child_cursor = 1;  // 指向 `a` 中当前父节点的孩子区块的起始索引

    while (parent_cursor < n) {
        int u = a[parent_cursor];

        // 找到 `u` 在我们基准 BFS 树中的所有孩子。
        // 也就是 `u` 的邻居中，深度比 `u` 大 1 的那些节点。
        std::set<int> children_from_graph;
        for (int v : adj[u]) {
            if (depth[v] > depth[u]) {
                children_from_graph.insert(v);
            }
        }
        int num_children = children_from_graph.size();

        // `a` 中接下来的 `num_children` 个元素必须是这些孩子。
        // 如果 `a` 的剩余长度不够，那肯定不对啦。
        if (child_cursor + num_children > n) {
            std::cout << "No\n";
            return;
        }

        // 把 `a` 中声称是孩子的那个区块收集起来。
        std::set<int> children_from_a;
        for (int i = 0; i < num_children; ++i) {
            children_from_a.insert(a[child_cursor + i]);
        }

        // 关键一步：比较这两个孩子的集合是否完全相同。顺序不重要，所以用 set 最好了！
        if (children_from_graph != children_from_a) {
            std::cout << "No\n";
            return;
        }

        // 验证通过！移动指针，准备检查下一个父节点和它的孩子区块。
        parent_cursor++;
        child_cursor += num_children;
    }

    // 如果整个序列 `a` 都被成功处理完，并且所有检查都通过了，那它就是合法的 BFS 序列！
    std::cout << "Yes\n";
}

int main() {
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);
    solve();
    return 0;
}

复杂度分析 (How Fast is My Paw-some Code?)

• 时间复杂度: O(N log N) 的说

  • 第一次标准 BFS 用来计算深度，访问每个节点和每条边一次，因为是树，所以是 O(N)。
  • 验证过程中的 while 循环，parent_cursor 从 0 遍历到 N-1。在循环内部，我们为每个父节点 u 构建了两个 set。构建 children_from_graph 时，我们遍历 u 的所有邻居，总的来说所有边会被访问两次，这部分是 O(N)。构建 children_from_a 也是 O(N)。将元素插入 set 的时间复杂度是对数级的。总的来说，所有插入操作加起来，最坏情况是 O(N log N)。所以，总的时间复杂度由验证步骤主导，是 O(N log N) 呐。

• 空间复杂度: O(N) 的说

  • 邻接表 adj 需要 O(N) 空间（因为树有 N-1 条边）。
  • depth 数组和输入的 a 数组都需要 O(N) 空间。
  • 队列 q 和两个 set 在最坏的情况下（比如一个星形图），也可能需要 O(N) 的空间。
  • 所以总的空间复杂度是 O(N) 哦。

知识点与总结 (What We've Learned, Nya!)

这道题真的非常考验对 BFS 本质的理解呢！通过这道题，我们学到了：

1. BFS 的不变性: 无论邻居的访问顺序如何，BFS 的分层特性是绝对不变的。所有深度为 d 的节点一定在深度为 d+1 的节点之前被访问。
2. 验证型问题的思路: 很多时候，我们不需要去模拟所有可能性。而是可以先建立一个“黄金标准”（比如本题中的节点深度），然后去验证给定输入是否符合这个标准。这是一种非常高效的解题思想！
3. 巧用数据结构: std::set 在这里大放异彩！它能自动排序并去重，完美地解决了“顺序任意，但集合必须相同”的判断需求。如果不用 set，我们也可以把两个子序列分别排序然后比较，效果是一样的。
4. 双指针/游标思想: 使用 parent_cursor 和 child_cursor 两个游标来同步处理序列和其内部的逻辑区块，是一种非常清晰和常见的技巧，在处理序列和字符串问题时特别有用。

希望这篇题解能帮到你，主人！如果还有问题，随时可以再来问我哦~ 喵~ (づ｡◕‿‿◕｡)づ