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G. Garage - 题解 ​

比赛与标签 ​

比赛: COMPFEST 14 - Preliminary Online Mirror (Unrated, ICPC Rules, Teams Preferred) 标签: binary search, geometry, math 难度: *1500

题目大意喵~ ​

你好呀，小可爱！这道题是说，Pak Chanek 想造一个由一个正方形和一个直角三角形组成的车库，喵~

我们有两个正整数 a 和 b（并且 a < b），它们是图示中直角三角形的两条边。如果一个整数 x 能够成为车库底部正方形的面积，那么 x 就是一个“合适的数”。我们的任务就是，找到第 N 个最小的合适的数是多少，呐。

比如，当 N=3 时，答案是 7。因为当 a=3, b=4 时，我们可以得到面积为 7 的正方形。

解题思路喵~ ​

这道题的几何描述看起来有点让人头晕，对吧？咱不慌，先从最关键的线索入手——就是题目给的那个例子：N=3 时，合适的数是 7，这是由 a=3, b=4 得到的。

一开始咱可能会想，是不是面积 x 和 a, b 有什么直接的关系，比如 x = ab 或者 x = a^2 + b^2？

  • 如果 x = ab，那么 7 = 3 * 4 = 12，不对喵~
  • 如果 x = a^2 + b^2，那么 7 = 3^2 + 4^2 = 25，也不对喵~

看来几何关系比想象的要复杂，或者说……它其实是在暗示我们一个更深层次的数学关系！

既然 a 和 b 是直角三角形的边，那最著名的就是勾股定理啦。但是题目没有说 a, b 是不是两条直角边。不过，我们可以大胆猜测一下，这个几何背景是在给我们一个关于 a 和 b 的约束。

让我们换个思路想一想。a=3, b=4，我们知道 3^2 + 4^2 = 5^2，它们是一个勾股数对。那如果车库正方形的边长是 c，面积是 x=c^2，并且这个 c 和 a, b 满足 a^2 + c^2 = b^2 呢？ 在这种情况下，x = c^2 = b^2 - a^2。 代入例子中的数据：x = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7。 Bingo！完全吻合！喵~呜~！咱找到了正确的姿势！

所以，这道题的本质就清晰啦：一个数 x 是“合适的”，当且仅当它可以被表示成两个正整数的平方差 x = b^2 - a^2，其中 b > a > 0。我们的任务就是找出所有这样的 x，然后按从小到大的顺序排列，找到第 N 个。

那么，哪些数可以被表示成两个正整数的平方差呢？ 我们来分析一下 x = b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)。 设 u = b-a，v = b+a。因为 b > a > 0，所以 v > u > 0。 同时，b = (u+v)/2，a = (v-u)/2。为了让 a 和 b 是整数，u+v 和 v-u 必须是偶数，这意味着 u 和 v 的奇偶性必须相同！

  1. 如果 x 是奇数： 我们可以把 x 分解成 x = 1 * x。让 u=1，v=x。u 和 v 都是奇数，奇偶性相同！ 这样 a = (x-1)/2，b = (x+1)/2。只要 x 是大于1的奇数（比如 x>=3），a 就是一个正整数，b 也是。所以，所有大于等于3的奇数都是合适的数。 例如：x=3 -> a=1, b=2。x=5 -> a=2, b=3。x=7 -> a=3, b=4。

  2. 如果 x 是偶数： u 和 v 必须都是偶数。这意味着它们的乘积 x = uv 必须是 偶数 * 偶数，所以 x 必须是 4的倍数。 反过来说，任何形如 4k+2 的数都不能分解成两个奇偶性相同的数的乘积，所以它们一定不是合适的数。 对于 x = 4k，我们可以让 u=2，v=2k。这样 a = (2k-2)/2 = k-1，b = (2k+2)/2 = k+1。 为了让 a 是正整数，我们需要 k-1 > 0，即 k > 1。这意味着 x = 4k 必须大于 4。 所以，所有大于4的、4的倍数（即 8, 12, 16, ...）都是合适的数。x=4 是不行的哦，因为它会导致 a=0，而 a 必须是正整数。

总结一下，合适的数集合 S 包括：

  • 所有 ≥ 3 的奇数 (3, 5, 7, 9, 11, ...)
  • 所有 ≥ 8 的4的倍数 (8, 12, 16, 20, ...)

把它们合并起来并排序，就得到了合适的数序列： 3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, ...

现在看这个序列，是不是发现了什么规律？

  • 前3个数是 3, 5, 7。
  • 从第4个数 8 开始，每4个连续的整数里，总是有3个是合适的数（4k, 4k+1, 4k+3），只有 4k+2 被排除了。
  • 比如 (8, 9, 10, 11) -> 合适的是 8, 9, 11。
  • 比如 (12, 13, 14, 15) -> 合适的是 12, 13, 15。

这个规律太美妙了，可以直接用一个 O(1) 的公式来计算第 N 个数！

  • N=1, 2, 3 是特殊情况，答案分别是 3, 5, 7，也就是 2N+1。
  • 对于 N ≥ 4，我们先减去前面3个特殊情况。令 temp = N - 4。剩下的数都是3个一组的。
  • block = temp / 3 表示这是第几个“三人组”（从0开始计数）。
  • r = temp % 3 表示是这个组里的第几个数（0, 1, 或 2）。
  • 每个组的起始数字是 8, 12, 16, ...，也就是 8 + block * 4。
  • 如果 r=0，就是组里的第一个数，8 + block * 4。
  • 如果 r=1，就是组里的第二个数，9 + block * 4。
  • 如果 r=2，就是组里的第三个数，11 + block * 4。

这和AC代码的逻辑完全一样！咱真是个小天才，喵~

代码实现喵~ ​

cpp
#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
    long long N;
    cin >> N;

    // 对于 N = 1, 2, 3，合适的数是 3, 5, 7
    // 这是一个简单的等差数列，可以直接用公式 2*N+1 计算，喵~
    if (N <= 3) {
        cout << 2 * N + 1 << endl;
    } else {
        // 对于 N >= 4，我们要找规律了哦
        // 先去掉前3个特殊情况
        long long temp = N - 4;

        // 剩下的数，每3个为一组 (例如: {8,9,11}, {12,13,15}, ...)
        // block 表示这是第几组 (从0开始计数)
        long long block = temp / 3;
        // r 表示是组内的第几个数 (0, 1, 或 2)
        long long r = temp % 3;

        // 第0组的基准数是 8, 9, 11
        // 每一组都比前一组大4
        if (r == 0) {
            // 组里的第一个数，例如 8, 12, 16, ...
            cout << 8 + block * 4 << endl;
        } else if (r == 1) {
            // 组里的第二个数，例如 9, 13, 17, ...
            cout << 9 + block * 4 << endl;
        } else { // r == 2
            // 组里的第三个数，例如 11, 15, 19, ...
            cout << 11 + block * 4 << endl;
        }
    }

    return 0;
}

复杂度分析的说 ​

  • 时间复杂度: O(1) 的说。代码里只有几次简单的算术运算，和输入 N 的大小无关，所以是常数时间复杂度，超快的喵！
  • 空间复杂度: O(1) 的说。我们只用了几个变量来存储 N 和中间计算结果，没有使用额外的数组或者数据结构，所以是常数空间复杂度，非常节省内存呐。

知识点与总结 ​

这道题真有趣，披着几何的外衣，核心却是一个纯粹的数论问题，喵~

  1. 关键突破口: 题目给的例子 (N=3 -> x=7 from a=3, b=4) 是解谜的钥匙！在竞赛中，一定要充分利用给出的所有信息，特别是具体的例子，它们往往能帮你戳破题目迷惑人的外表。

  2. 核心数学原理: 差平方数定理。一个正整数 x 可以表示为两个正整数的平方差 (x = b^2 - a^2)，当且仅当 x 不是 4k+2 型的数，并且 x 不等于 1 或 4。这个知识点在数论题中很有用，记住它会对你有帮助的！

  3. 模式识别: 从推导出的“合适数”集合中，我们找到了一个非常清晰的 mod 4 规律，从而将一个看似需要遍历查找的问题，转化成了一个 O(1) 的计算公式。这种从序列中发现规律并公式化的能力是算法竞赛中的一项神技哦！

  4. 题目解读: 有时候，题目的背景描述（比如这里的几何构造）可能是一种“善意的伪装”或者“含蓄的提示”。它引导我们思考与背景相关的数学性质（比如直角三角形和勾股定理/差平方数），而不是直接去模拟那个复杂的几何图形。

总之，这是一道考验观察力、联想能力和数学功底的好题。希望我的讲解能帮助你理解它，加油哦，你一定可以变得更强的！喵~

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