G. Practice - 题解

比赛与标签

比赛: Codeforces Round 145 (Div. 2, ACM-ICPC Rules) 标签: constructive algorithms, divide and conquer, implementation 难度: *1600

喵喵，题目说什么呀？

主人，你好喵~ 这道题其实非常有趣哦！我们来一起看看吧！

题目是这样的：我们有一个足球队，里面有 n 个球员，编号从 1 到 n。教练想要安排一系列的练习赛，目标是用最少的场次，来满足一个特殊的条件。

这个条件就是：在所有练习赛都结束后，对于 任意一对 球员，他们都必须 至少有一次 在比赛中被分到不同的队伍里。

每场练习赛，所有 n 个球员都会参加，他们会被分成两个队伍。这两个队伍的人数可以不一样，但每个队至少要有一个人。

我们的任务就是，先计算出满足条件所需的最少练习赛次数 m，然后给出这 m 场比赛的具体分组方案。对于每场比赛，我们只需要输出其中一个队的人数和队员编号就可以啦！

本喵的思考时间~

怎么才能保证每对球员都被分开过一次呢？这听起来像是个配对问题，喵~

我们可以换个角度想。要区分开任意两个球员 A 和 B，就需要至少有一场比赛，他们俩的队伍不同。

如果我们把 m 场比赛看作 m 个“特征位”，对于每个球员，我们都可以记录下他在这 m 场比赛中的队伍情况。比如说，在一场比赛中，如果他在第一队，我们记为 1；如果在第二队，我们记为 0。

这样一来，每个球员在经历 m 场比赛后，都会得到一个长度为 m 的二进制串！这个二进制串，就像是每个球员独一无二的“身份牌”，的说！

球员A -> b_A_1, b_A_2, ..., b_A_m
球员B -> b_B_1, b_B_2, ..., b_B_m

要让球员 A 和 B 在这 m 场比赛中至少分开过一次，就意味着他们的 m 位二进制串，至少要有一位是不同的。比如在第 i 场比赛中，一个人的记录是 1，另一个是 0，他们就被分开了，喵~

为了让所有球员对都能被分开，就必须给每个球员分配一个 独一无二 的 m 位二进制“身份牌”！

那么，问题就转化成了：我们需要多少位（m）的二进制数，才能给 n 个球员每人分配一个不同的编码呢？

m 位二进制最多能表示 2^m 个不同的数（从 0 到 2^m - 1）。我们有 n 个球员，所以必须满足 2^m >= n 才能保证编码够用。我们要找的就是满足这个条件的最小的 m。这个 m 就是 ceil(log₂(n)) 啦！

找到了最小场次 m，分组方案自然就有了呐！

分配编码：我们给第 p 号球员（p 从 1 到 n）分配一个独一无二的 m 位二进制编码。最简单的方法就是用数字 p-1 的二进制表示。
按位分组：对于第 i 场比赛（让 i 从 0 到 m-1），我们就看所有球员编码的第 i 位！
- 如果球员 p 的编码（也就是 p-1）的第 i 位是 1，就把他分到第一队。
- 如果第 i 位是 0，就把他分到第二队。

这样一来，任何两个球员，他们的编码（p1-1 和 p2-1）肯定是不同的，所以其二进制表示至少在某一位 j 上不同。这就意味着在第 j 场比赛中，他们一定会被分到不同的队伍！完美解决，喵~

魔法咒语咏唱~

下面就是实现这个思路的魔法代码啦，本喵已经加上了详细的注释，方便主人理解哦！

cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

int main() {
    // 题目要求从文件 "input.txt" 读取输入，并输出到 "output.txt"，喵~
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);

    // 加速一下I/O，跑得更快！
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    int n;
    std::cin >> n;

    // 计算最少的比赛场次 m
    // m 是满足 2^m >= n 的最小整数
    int m = 0;
    while ((1 << m) < n) {
        m++;
    }

    // 先输出最少场次 m
    std::cout << m << "\n";

    // 接下来，我们来构造 m 场比赛的分组方案
    // i 代表第 i 场比赛 (也对应二进制编码的第 i 位)
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        std::vector<int> team1; // 用来存放第一队的球员
        // 遍历所有球员，从 1 到 n
        for (int p = 1; p <= n; ++p) {
            // 这里是分组魔法的核心喵！
            // 我们给每个球员 p (1到n) 分配一个唯一的 m 位二进制编码，也就是 p-1 的二进制形式。
            // 对于第 i 场比赛，我们根据编码的第 i 位来分组。
            // (p - 1) >> i : 将 p-1 的二进制表示向右移动 i 位，这样原来的第 i 位就到了最右边（第0位）。
            // & 1 : 通过按位与1，我们就能取出这个最右边的位。
            // 如果结果是 1，说明 p-1 的第 i 位是 1，就把球员 p 放入第一队。
            if (((p - 1) >> i) & 1) {
                team1.push_back(p);
            }
        }

        // 输出这场比赛第一队的人数
        std::cout << team1.size();
        // 接着输出第一队所有队员的编号
        for (int player_id : team1) {
            std::cout << " " << player_id;
        }
        std::cout << "\n";
    }

    return 0;
}

时空消耗评估喵！

时间复杂度: O(n log n) 的说外层循环执行 m 次，内层循环执行 n 次。因为 m 是约等于 log₂(n) 的，所以总的时间复杂度就是 O(m * n) = O(n log n) 啦。
空间复杂度: O(n) 的说在每次外层循环中，我们都创建了一个 vector<int> team1 来存储第一队的队员。在最坏的情况下，一个队可能会包含接近 n 个队员，所以空间复杂度是 O(n) 呢。

来自猫娘的小贴士~

这道题真的超棒，里面藏着一些非常核心的算法思想，主人一定要掌握哦！

核心思想 - 转化问题: 这道题最精髓的地方，就是把“区分所有球员对”这个具体问题，抽象并转化为了“为每个球员分配唯一的二进制编码”的数学模型。这种转化问题的能力在算法竞赛中非常重要，的说！
位运算大法 (Bit Manipulation): 巧妙地使用位运算来根据二进制编码进行分组，是这道题实现的关键。>> (右移) 和 & (按位与) 是处理二进制位的好帮手，一定要熟练掌握它们哦！这比用字符串或者其他方式处理二进制要快得多也优雅得多。
分治思想: 其实这个方法也蕴含了分治的思想呐。每一场比赛，我们都根据某一个二进制位，把所有球员“切”成两半。经过 log n 轮切割，就能把所有人都区分开啦。
最小性证明: 为什么 m = ceil(log₂(n)) 是最小的呢？因为如果用 m-1 场比赛，我们最多只能构造 2^(m-1) 个不同的二进制编码。而由 m 的定义我们知道 2^(m-1) < n，根据鸽巢原理，n 个球员去抢 2^(m-1) 个编码，肯定会有至少两个球员的编码是相同的。这样他们在这 m-1 场比赛中就永远在同一队，无法分开了喵~

希望本喵的讲解对你有帮助！继续加油，算法的世界还有很多有趣的冒险在等着你喵~ ❤️

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