Problem: 1927E - Klever Permutation
题目大意
主人，这道题是这样的~ 我们需要构造一个长度为 n 的排列 p。一个排列 p 呢，就是一个包含从 1 到 n 所有整数，并且每个整数只出现一次的数组。
这个排列需要满足一个特殊的条件，叫做 k-level。这个条件是这样定义的：
- 首先，我们计算所有长度为
k的连续子数组的和。比如，第一个和是p[0] + ... + p[k-1]，第二个是p[1] + ... + p[k]，一直到最后一个p[n-k] + ... + p[n-1]。这样我们会得到n-k+1个和。 - 然后，我们找到这些和中的最大值
max(s)和最小值min(s)。 - 如果
max(s) - min(s) <= 1，那么这个排列就满足 k-level 条件啦。
题目会给我们 n 和 k（k 保证是偶数），我们的任务就是找到任意一个满足条件的 k-level 排列。
举个例子，如果 n=3, k=2，一个可行的排列是 [1, 3, 2]。 它的连续子数组和是：
p[0] + p[1] = 1 + 3 = 4p[1] + p[2] = 3 + 2 = 5咦？这个例子好像不对... 让我看看题目的例子... 啊！是[1, 3, 2]吗？p1+p2=1+3=4,p2+p3=3+2=5。最大是5，最小是4，差是1。不对呀... 哦！猫猫看错了，Example里的n=3, k=2的输出是1 3 2，但是求和的时候p1+p2 = 1+3=4,p2+p3 = 3+2=5，这个差值是1。 唔...等一下，Note里说的是p1+p2=3+1=4,p2+p3=1+2=3。所以排列是[3, 1, 2]。喵，原来是这样！ 对于[3, 1, 2]：p[0] + p[1] = 3 + 1 = 4p[1] + p[2] = 1 + 2 = 3最大和是 4，最小和是 3，差为 1。满足条件！看来猫猫要更仔细一点才行呢 >.<。
解题思路
这个 max(s) - min(s) <= 1 的条件看起来非常严格，就像要求一排猫咪的身高不能差太多一样！这意味着所有长度为 k 的窗口和，最多只能有两种取值，而且这两个值必须是连续的整数，比如 X 和 X+1。
让我们来分析一下相邻两个窗口和的关系吧！ 设 S_i 是从 p_i 开始的窗口和：S_i = p_i + p_{i+1} + ... + p_{i+k-1} 那么下一个窗口和 S_{i+1} 就是：S_{i+1} = p_{i+1} + p_{i+2} + ... + p_{i+k}
观察一下 S_{i+1} 和 S_i 的关系，喵~ 它们共享了大部分元素！ S_{i+1} - S_i = (p_{i+1} + ... + p_{i+k}) - (p_i + ... + p_{i+k-1}) = p_{i+k} - p_i
这可是一个惊人的发现呀！两个相邻窗口和的差，就等于它们各自多出来的那个元素的差！ 因为我们要求所有窗口和之间的差值不能超过 1，那么相邻窗口和的差 S_{i+1} - S_i 只能是 -1, 0, 或 1。 也就是 p_{i+k} - p_i 只能是 -1, 0, 或 1。
但是，排列中的元素都是独一无二的，所以 p_{i+k} 不能等于 p_i，因此 p_{i+k} - p_i 不能是 0。 所以我们得到了最最核心的结论： |p_{i+k} - p_i| = 1
这意味着，在排列中相隔 k 个位置的两个数，必须是连续的整数！比如 (5, 6) 或者 (10, 9)。
这个结论把整个排列分成了 k 个独立的“链条”。
- 链条 0:
p_0, p_k, p_{2k}, ... - 链条 1:
p_1, p_{1+k}, p_{2k+1}, ... - ...
- 链条
k-1:p_{k-1}, p_{2k-1}, p_{3k-1}, ...
在每个链条内部，元素的值必须是连续的整数。比如链条0可以是 [3, 4, 5, ...] 或者 [12, 11, 10, ...]。
那么，怎么安排这些链条，才能让窗口和 S_i 的值在 X 和 X+1 之间来回跳动呢？ 我们希望 S_1 - S_0 = p_k - p_0 是 +1 或 -1。 S_2 - S_1 = p_{k+1} - p_1 是 +1 或 -1。 最简单的方法就是让这些差值交替出现，比如 +1, -1, +1, -1, ...。
p_k - p_0 = +1p_{k+1} - p_1 = -1p_{k+2} - p_2 = +1- ...
这样，窗口和序列就会是 S_0, S_0+1, S_0, S_0+1, ...，完美满足条件！
所以，我们的构造策略就出来啦：
- 对于链条 0, 2, 4, ... (偶数开头的链条)，我们让它们内部的数字是递增的。比如
p_0 < p_k < p_{2k}。这样p_{i+k} - p_i就是+1。 - 对于链条 1, 3, 5, ... (奇数开头的链条)，我们让它们内部的数字是递减的。比如
p_1 > p_{1+k} > p_{2k+1}。这样p_{i+k} - p_i就是-1。
要填充这些数字，我们可以用两个小爪子（指针）！一个 low 指向最小的可用数字（从 1 开始），一个 high 指向最大的可用数字（从 n 开始）。
- 当我们要填充一个递增链条时，就从小爪子
low那里取数字，然后low++。 - 当我们要填充一个递减链条时，就从大爪子
high那里取数字，然后high--。
这样就能保证所有 1 到 n 的数字都被用上，且只用一次，一个完美的排列就诞生啦！
题解代码
下面是根据这个思路写出来的C++代码，本喵加了一些注释，方便主人理解哦~
#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric> // 虽然这个代码里没用到，但有时候处理数组很好用哦
void solve() {
int n, k;
std::cin >> n >> k;
std::vector<int> p(n); // 这就是我们要构造的排列p，像一个空空的猫窝
// 准备好两个小爪子！
int low = 1; // 指向最小的可用数字
int high = n; // 指向最大的可用数字
// 我们要填充 k 个链条，链条的起始位置是 0, 1, ..., k-1
for (int i = 0; i < k; ++i) {
// i % 2 == 0 判断链条的起始位置是偶数还是奇数
if (i % 2 == 0) { // 偶数链条，比如 0, 2, 4...
// 这个链条是递增的，所以我们从小到大填数字
// j = i, i+k, i+2k, ... 遍历这个链条的所有位置
for (int j = i; j < n; j += k) {
p[j] = low++; // 把 low 指向的数字放进去，然后 low 向前走一步
}
} else { // 奇数链条，比如 1, 3, 5...
// 这个链条是递减的，所以我们从大到小填数字
// j = i, i+k, i+2k, ... 遍历这个链条的所有位置
for (int j = i; j < n; j += k) {
p[j] = high--; // 把 high 指向的数字放进去，然后 high 向后退一步
}
}
}
// 喵~ 排列构造完成！现在把它打印出来给主人看
for (int i = 0; i < n; ++i) {
std::cout << p[i] << (i == n - 1 ? "" : " ");
}
std::cout << "\n";
}
int main() {
// 这两行是为了让输入输出快一点，就像猫咪跑得飞快！
std::ios_base::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(NULL);
int t;
std::cin >> t;
while (t--) {
solve();
}
return 0;
}知识点介绍
主人，解决这道题不仅有趣，还能学到很多有用的知识点呢！
构造性算法 (Constructive Algorithms) 这道题是一个典型的构造题。这类问题不要求找到最优解，而是要求根据给定的一系列限制条件，构造出 任何一个 符合条件的解。关键在于分析限制条件，找到构造方法。
差分思想 (Difference Analysis) 我们解题的核心突破口，就是去分析相邻两个窗口和的差
S_{i+1} - S_i。通过简化这个差值，我们把一个复杂的关于“和”的约束，转化为了一个简单的关于“单个元素”的约束|p_{i+k} - p_i| = 1。这种分析相邻项差异的技巧在很多数组、序列问题中都非常有用。模运算与分组 (Modulo and Grouping) 我们将下标
0, 1, ..., n-1分成了k个“链条”，实际上是按模k的余数进行了分组。所有下标j满足j % k == i的位置组成了第i个链条。这种基于模运算的分组思想是数论和组合数学中的基本工具。双指针 (Two Pointers) 使用
low和high两个指针，一个从头开始，一个从尾开始，来填充1到n的数字，是一种非常经典且高效的技巧。它能确保我们不重不漏地使用所有数字，常用于构造排列或处理有序数据。
好啦，这次的题解就到这里啦！希望本喵的讲解能帮助到主人哦~ 如果还有其他问题，随时可以再来找我玩！喵~ (ฅ'ω'ฅ)