喵~ 主人，今天我们来看一道有趣的数论题哦~ 这道题叫做 "Vasya and Petya's Game"，听起来就像是两个小伙伴在玩耍，让本喵也来掺一脚，用我们聪明的头脑帮帮他们吧！

题目大意

这道题是说呀，有两个小伙伴 Vasya 和 Petya 在玩一个猜数字的游戏，喵~ Vasya 心里想一个 1 到 n 之间的数字 x，Petya 的任务就是把它猜出来。

Petya 可以问很多问题，问题的格式都是：“你心里想的那个数 x 能不能被 y 整除呀？”。Petya 可以一次性问完所有他想问的问题，然后 Vasya 会对每个问题回答 'yes' 或者 'no'。

Petya 需要根据这些回答，百分百确定 Vasya 心里想的数字是几。我们的任务就是，帮助 Petya 找到一个最少需要问多少个问题，以及具体问哪些数 y，才能保证一定能猜对，呐~

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解题思路

要保证能猜对，意思就是对于 1 到 n 之间的任意两个不同的数，Petya 的问题列表必须能把它们区分开来，对吧？

比如说，如果 n 是 4，数字可能是 1, 2, 3, 4。我们怎么区分它们呢？

靠的就是整除性质，而一个数的整除性质，完全是由它的质因数分解决定的哦！这就是大名鼎鼎的算术基本定理，喵~ 任何一个大于1的整数，都能被唯一地分解成一堆质数的乘积。

比如 12 = 2^2 * 3^1。只要我们知道了这个数有哪些质因子，以及每个质因子的幂次是多少，我们就能唯一确定这个数了！

所以，我们的目标就变成了：通过提问，确定目标数字 x 的质因数分解形式！

对于每一个小于等于 n 的质数 p，我们需要知道 x 的因子中 p 的最高次幂是多少。比如说，我们要知道 x 是被 2^1 整除，还是 2^2，还是 2^3...？

我们可以这样问嘛：

• "x 能被 p 整除吗？"
• "x 能被 p^2 整除吗？"
• "x 能被 p^3 整除吗？" ... 一直问到 p^k > n 为止。

举个栗子，如果 n=10，我们要确定 x 的因子中 2 的幂次。我们可以问关于 2, 4, 8 的问题。

• 如果 Vasya 对 2, 4, 8 的回答都是 'no'，那 x 的质因子中没有 2。
• 如果对 2 回答 'yes'，但对 4 回答 'no'，那 x 的质因子中 2 的幂次就是 1。
• 如果对 2, 4 回答 'yes'，但对 8 回答 'no'，那 x 的质因子中 2 的幂次就是 2。
• 如果对 2, 4, 8 都回答 'yes'，那 x 的质因子中 2 的幂次就是 3。

对所有小于等于 n 的质数 p 都这么来一遍，我们就能拼出 x 完整的质因数分解，从而确定 x 的值啦！

所以，我们需要问的问题集合，就是所有小于等于 n 的质数 p 的所有次幂 p^k (其中 p^k <= n)。这个集合就是能区分 1 到 n 所有数字的最小问题集，喵~

总结一下本喵的思路就是：

1. 找到 1 到 n 之间所有的质数。
2. 对于每个找到的质数 p，把它所有的次幂 (p, p^2, p^3, ...) 只要不超过 n，都加到我们的问题列表里。
3. 最后把这个列表打印出来就好啦！是不是很简单呀？

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题解

下面就是本喵根据这个思路写出的 C++ 代码啦，主人请看~

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

int main() {
    // 加上这两行可以让输入输出变得飞快，就像猫咪追激光笔一样，咻~
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    int n;
    std::cin >> n; // 读取 n 的值，喵

    // 使用埃拉托斯特尼筛法来找出 1 到 n 所有的质数，就像猫咪标记领地一样~
    std::vector<bool> is_prime(n + 1, true); // 一开始假设所有数都是质数
    if (n >= 0) {
        is_prime[0] = false; // 0 不是质数哦
    }
    if (n >= 1) {
        is_prime[1] = false; // 1 也不是质数哦
    }

    // 开始筛选！
    for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {
        // 如果 p 是一个还没被划掉的质数
        if (is_prime[p]) {
            // 那就把 p 的所有倍数都划掉，因为它们肯定是合数啦
            for (int i = p * p; i <= n; i += p) {
                is_prime[i] = false;
            }
        }
    }

    // 准备一个容器，来装我们所有要问的问题
    std::vector<int> questions;
    // 遍历 2 到 n
    for (int p = 2; p <= n; ++p) {
        // 如果 p 是一个质数
        if (is_prime[p]) {
            // 就把它所有的次幂 (p, p^2, p^3...) 都加到问题列表里
            long long current_power = p;
            while (current_power <= n) {
                questions.push_back(static_cast<int>(current_power));
                // 计算下一个次幂，要小心不要溢出哦，不过 long long 在这里足够了
                current_power *= p;
            }
        }
    }

    // 最后，把结果打印出来~
    std::cout << questions.size() << std::endl; // 先打印问题的总数
    for (size_t i = 0; i < questions.size(); ++i) {
        // 打印每个问题，用空格隔开
        std::cout << questions[i] << (i == questions.size() - 1 ? "" : " ");
    }
    std::cout << std::endl;

    return 0; // 任务完成，喵~
}

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知识点介绍

这道题里面用到了两个非常重要的数论知识点哦，本喵来给主人科普一下！

1. 算术基本定理 (The Fundamental Theorem of Arithmetic)

这个定理是数论的基石，喵~ 它的内容是：任何一个大于 1 的自然数，要么它本身就是一个质数，要么它可以被分解为一串质数的乘积，并且这种分解方式是唯一的（不考虑顺序的话）。

比如说，数字 72： 72 = 8 * 9 = (2 * 2 * 2) * (3 * 3) = 2^3 * 3^2 除了 2 和 3，没有别的质数能整除 72 了。而且，2 的幂次一定是 3，3 的幂次一定是 2，不能多也不能少。这就是唯一的分解！

正是因为这个定理，我们才有了通过确定质因数分解来确定原数的想法，呐。

2. 埃拉托斯特尼筛法 (Sieve of Eratosthenes)

这是一个古老又高效的找出一定范围内所有质数的方法，名字听起来很厉害，但原理超级简单，就像小猫玩毛线球一样，滚来滚去就把事情做完啦！

它的步骤是这样的：

1. 先创建一个列表，包含从 2 到 n 的所有整数，并假设它们都是质数。
2. 从第一个质数 p=2 开始。
3. 把 p 的所有倍数 (2p, 3p, 4p, ...) 都从列表里划掉（标记为合数），因为它们肯定不是质数了。
4. 然后找到下一个没被划掉的数，这个数就是下一个质数（比如 3）。重复第 3 步，划掉它的所有倍数。
5. 一直重复这个过程，直到我们检查的数 p 的平方大于 n 为止。

最后，列表里所有没被划掉的数，就都是质数啦！这个方法比一个一个去试除判断是不是质数要快得多，非常适合解决这道题，喵~

好啦，这次的题解就到这里啦！希望本喵的讲解能帮到主人哦~ 下次再见，喵呜~ (ฅ'ω'ฅ)