喵~ 主人你好呀！今天我们来解决一道关于在聊天室里发表情，一不小心就会被封号的有趣问题，嘿嘿。这道题叫做 C. Chat Ban，让我们一起来看看怎么才能在不被封号的情况下，尽可能多地发出可爱的表情包吧！
题目大意
是这样的喵，我们想在一个聊天室里发送一个酷炫的 "表情包三角"。
这个三角由一个参数 k 决定，总共包含 2k-1 条消息。它的形状是这样的：
- 第 1 条消息：1 个表情
- 第 2 条消息：2 个表情
- ...
- 第
k条消息：k个表情 (这是顶峰啦！) - 第
k+1条消息：k-1个表情 - ...
- 第
2k-1条消息：1 个表情
举个例子，如果 k=3，我们就会发送像这样 1, 2, 3, 2, 1 个表情的五条消息。
但是！聊天室里有个严格的管理员，如果我们发送的表情总数累计达到了 x，我们就会立刻被封号（被抓走关小黑屋！）。被封号的那条消息也算在内。
我们的任务就是计算，对于给定的 k 和 x，我们最多能发送多少条消息才会被封号。当然，如果我们能成功发完整个三角而不被封号，那就算我们成功啦！
解题思路
主人请看，这道题的 k 可以达到 10^9，x 更是大得吓人。如果我们一条一条消息地去模拟计算，肯定会超时哒，呜... 所以我们需要找到更聪明的办法，喵！
关键点在于，我们发送的消息越多，累计的表情总数也一定是越多的。这是一个非常重要的单调性！每当我们遇到这种单调递增或递减的关系时，就应该立刻想到——二分查找！
我们可以二分查找“最终发送了多少条消息”。假设我们二分查找到的答案是 m 条消息，我们只需要快速计算出发送 m 条消息所需要的表情总数，然后和 x 比较就行啦。
判断是否会被封号： 首先，我们可以算一下，把整个表情包三角（
2k-1条消息）发完，一共需要多少表情呢？- 上升部分：
1 + 2 + ... + k = k * (k + 1) / 2 - 下降部分：
(k-1) + (k-2) + ... + 1 = (k-1) * k / 2 - 总数 =
k*(k+1)/2 + (k-1)*k/2 = (k^2+k+k^2-k)/2 = 2k^2/2 = k*k哇！原来总共是k*k个表情！如果给定的x大于等于k*k，说明我们无论如何也凑不够x个表情，可以安全地发完所有2k-1条消息。
- 上升部分：
二分查找答案： 如果
x < k*k，说明我们一定会在中途被封号。这时就需要二分查找了。我们可以把查找分为两个阶段：阶段一：在上升阶段被封号 (消息数 ≤ k) 如果我们发送
m条消息（m <= k），那么表情总数就是1 + 2 + ... + m = m * (m + 1) / 2。 我们可以二分查找m的范围[1, k]，找到最小的m使得m * (m + 1) / 2 >= x。阶段二：在下降阶段被封号 (消息数 > k) 如果发完前
k条消息还没被封号，说明x大于前k条消息的表情总数k * (k + 1) / 2。 此时我们已经发送了k条消息，接下来发送的第k+p条消息（p >= 1）会包含k-p个表情。 假设我们在下降阶段又发送了p条消息，那么总消息数是k+p。 这额外的p条消息带来的表情数是(k-1) + (k-2) + ... + (k-p)。 总表情数就是(前k条总数) + (后p条总数)。 我们同样可以二分查找p的范围[1, k-1]，找到最小的p使得总表情数大于等于x。最终答案就是k+p。
将这两个阶段合在一起，我们就可以用二分查找高效地找到答案啦！
代码实现
这是猫娘为您准备的 C++ 代码，里面加了详细的注释哦~
#include <iostream>
// 这个函数用来解决单个测试用例喵
void solve() {
long long k, x;
std::cin >> k >> x;
// 一个完整的 k 阶表情包三角总共有 k*k 个表情
// 计算方法：(1+...+k) + (1+...+k-1) = k*(k+1)/2 + (k-1)*k/2 = k*k
// 如果 x 大于等于 k*k，说明我们永远不会被封号，可以发完所有 2k-1 条消息
if (x >= k * k) {
std::cout << 2 * k - 1 << "\n";
return;
}
// 如果程序运行到这里，说明我们一定会在中途被封号
// 因为发送的消息数和表情总数是单调递增的，所以可以用二分查找
// 我们先判断封号是发生在上升阶段还是下降阶段
// 上升阶段（前k条消息）的表情总数
long long emotes_at_k = k * (k + 1) / 2;
if (x <= emotes_at_k) {
// 情况一：在上升阶段（前k条消息内）被封号
// 我们需要找到最小的消息数 m (1 <= m <= k)，使得表情总数 >= x
// 表情总数公式是 m * (m + 1) / 2
// 在 [1, k] 范围内二分查找 m
long long low = 1, high = k;
long long ans = k; // 初始化为一个安全的最大值
while (low <= high) {
long long mid = low + (high - low) / 2;
// 注意：这里需要检查 mid*(mid+1) 是否会溢出，但在此题 k <= 10^9, mid*(mid+1) 不会超过 long long
if (mid * (mid + 1) / 2 >= x) {
ans = mid; // mid 是一个可能的答案，尝试找更小的
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1; // 表情还不够，需要更多消息
}
}
std::cout << ans << "\n";
} else {
// 情况二：在下降阶段（k条消息后）被封号
// 我们已经发送了 k 条消息，累计了 emotes_at_k 个表情
// 还需要凑够的表情数是
long long emotes_needed = x - emotes_at_k;
// 下降阶段的消息表情数是 k-1, k-2, ..., 1
// 我们需要找到最小的 p (1 <= p <= k-1)，使得下降阶段前 p 条消息的表情总数 >= emotes_needed
// 这个总数是 (k-1) + (k-2) + ... + (k-p)，求和公式为 p * (2*k - p - 1) / 2
// 在 [1, k-1] 范围内二分查找 p
long long low = 1, high = k - 1;
long long ans_p = k - 1; // 初始化为一个安全的最大值
while (low <= high) {
long long p = low + (high - low) / 2;
long long emotes_from_p = p * (2 * k - p - 1) / 2;
if (emotes_from_p >= emotes_needed) {
ans_p = p; // p 是一个可能的答案，尝试找更小的
high = p - 1;
} else {
low = p + 1; // 表情还不够，需要更多消息
}
}
// 总消息数 = 上升阶段的 k 条 + 下降阶段的 ans_p 条
std::cout << k + ans_p << "\n";
}
}
int main() {
// 快速输入输出，让程序跑得更快喵
std::ios_base::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(NULL);
int t;
std::cin >> t;
while (t--) {
solve();
}
return 0;
}知识点小课堂
这道题主要用到了几个很重要的知识点哦，主人快来学习一下吧！
二分查找 (Binary Search) 二分查找是一种非常高效的搜索算法，它要求被搜索的数据必须具有单调性（比如有序）。就像我们在这道题里遇到的，消息越多，表情总数也越多。二分查找每次都检查中间元素，然后排除掉一半不可能的范围，所以速度非常快，时间复杂度是 O(log N)，对于处理大数据范围的问题超级有用！
等差数列求和 (Arithmetic Series Sum) 我们在计算表情总数时，反复用到了这个数学小魔法。像
1 + 2 + ... + n这样的数列就是等差数列。它的求和公式是(首项 + 末项) * 项数 / 2。记住这个公式，可以帮我们 O(1) 地算出总和，避免了循环累加的麻烦。数据范围与
long long注意到题目中的k和x都非常大吗？一个普通的int类型（通常是32位）最大只能存到2 * 10^9左右。在计算k*k或者m*(m+1)/2时，结果很容易就会超出int的范围，导致数据"溢出"，变成一个奇怪的负数。为了避免这种错误，我们必须使用long long类型，它可以存储大得多的整数（大约到9 * 10^18），保证计算的正确性。这是写代码时一定要注意的好习惯哦，喵~
好啦，今天的题解就到这里啦！希望主人能喜欢这道题，也喜欢猫娘的讲解。下次再见喵~ >w<