喵~ 主人，你好呀！Manao 遇到了一个棘手的锁，不过别担心，有本喵在，再难的问题也能迎刃而解！我们一起来看看这个有趣的按钮问题吧，嘻嘻~ (ฅ'ω'ฅ)
题目大意
这道题是说，有一个神奇的锁，上面有 n 个按钮。要打开这个锁，需要按下一个特定顺序的按钮序列。
这个锁的机制是这样哒：
- 如果你按下的按钮是序列中下一个正确的按钮，那么这个按钮就会保持按下的状态，喵~
- 如果你按错了，那么所有已经按下的按钮都会弹回原位，呜...一切都要重来。
- 当所有
n个按钮都成功地被按下时，锁就打开啦！
Manao 虽然不知道正确的顺序是什么，但他非常聪明，会采用最优的策略。我们需要计算的是，在最坏的情况下，Manao 总共需要按多少次按钮才能打开锁。
举个栗子，n=3，假设正确顺序是 {2, 3, 1}：
- 目标：找到第1个按钮。
- 如果先按
1或3，它们是错的，按钮会立刻弹起来。 - 如果先按
2，它是对的，按钮2会保持按下。
- 如果先按
- 目标：找到第2个按钮（已知第1个是
2）。- 如果在
2之后按1，1是错的，那么2和1都会弹起来。 - 如果在
2之后按3，3是对的，那么2和3都会保持按下。
- 如果在
- 目标：找到第3个按钮（已知前两个是
2, 3）。- 这时候只剩下按钮
1啦，按下它，锁就开啦！
- 这时候只剩下按钮
“最坏情况” 指的是，Manao 每次猜测，正确答案总是他尝试的最后一个选项。
题解方法
要解决这个问题，我们可以一步一步地分析 Manao 的策略，喵~ 他会一个一个地去确定序列中的按钮。
我们把问题分解成 n 个阶段：找到第 1 个正确按钮，找到第 2 个，...，直到找到第 n 个。
阶段一：找到第 1 个正确按钮
- 这时候一个按钮都还没按下去。有
n个按钮可以选。 - 最坏情况下，Manao 会试遍所有
n-1个错误的按钮，最后才找到那个正确的。 - 每次尝试（无论对错）都只按 1 次。
- 所以，失败的尝试有
n-1次，成功的尝试有 1 次。 - 总共需要按
(n-1) + 1 = n次。
阶段二：找到第 2 个正确按钮
- 现在，Manao 已经知道了第 1 个正确的按钮。
- 剩下
n-1个按钮作为第 2 个按钮的候选。其中，n-2个是错的，1 个是对的。 - 为了测试一个候选按钮，Manao 必须先按下第 1 个正确的按钮，再按那个候选按钮。所以，每一次尝试都需要按 2 次。
- 在最坏的情况下，他会把
n-2个错误的候选按钮都试一遍。 - 失败的尝试会花费：
(n-2) * 2次按键。 - 最后一次成功的尝试：按下第 1 个，再按下第 2 个（正确的），花费 2 次按键。
- 总共需要按
(n-2) * 2 + 2 = (n-1) * 2次。
阶段 i：找到第 i 个正确按钮
- 到了这个阶段，Manao 已经知道了前
i-1个正确的按钮。 - 剩下
n - (i-1)个按钮作为第i个按钮的候选。其中，n-i个是错的，1 个是对的。 - 为了测试一个候选按钮，他必须先按顺序按下前
i-1个正确的按钮，再按那个候选按钮。所以，每一次尝试都需要按i次。 - 在最坏的情况下，他会把
n-i个错误的候选按钮都试一遍。 - 失败的尝试会花费：
(n-i) * i次按键。 - 最后一次成功的尝试：按顺序按下前
i-1个，再按下第i个（正确的），花费i次按键。 - 在这个阶段总共需要按
(n-i) * i + i = (n-i+1) * i次。
总次数
把每个阶段的按键次数加起来，就是最终答案啦！ 总次数 = Sum_{i=1 to n} [(n-i+1) * i]
我们可以换个角度来思考，这也是代码里的实现方式，可能会更清晰哦！
总按键次数 = 所有失败尝试的按键数 + 所有成功按键数
- 所有成功按-键数：最终，为了打开锁，Manao 需要成功地按下一遍正确的序列，比如
{B1, B2, ..., Bn}。这包括：按下 B1（成功），按下 B2（成功），...，按下 Bn（成功）。总共是n次成功的按键。 - 所有失败尝试的按键数：
- 在寻找第
i个按钮时（已知前i-1个），有n-i个错误选项。 - 每次错误的尝试都需要按
i次键（i-1个已知正确的 + 1 个错误的）。 - 所以在第
i阶段，失败的按键数是(n-i) * i。
- 在寻找第
- 把所有阶段的失败次数加起来：
Sum_{i=1 to n} [(n-i) * i]。
所以，总次数 = n + Sum_{i=1 to n} [(n-i) * i]。
这个公式和我们上面推导的 Sum_{i=1 to n} [(n-i+1) * i] 其实是等价的，喵~ Sum[(n-i+1) * i] = Sum[(n-i)*i + i] = Sum[(n-i)*i] + Sum[i]。 咦？好像不对... 让我再挠挠头...
啊！本喵想明白了！上面的逻辑都对，但是加和的方式有点绕。我们直接看代码的逻辑，它把每次成功的那一下分开计算了。
在第 i 阶段：
- 有
n-i次失败的尝试，每次尝试花费i次按键。总计(n-i) * i次。 - 有 1 次成功的尝试，但我们只计算让第
i个按钮最终留在按下状态的那 1 次按键。 所以，第i阶段的贡献是(n-i) * i次（因失败而重复按下的键）+1次（第i个按钮被成功按下的那一下）。
所以总次数 = Sum_{i=1 to n} [ (n-i)*i + 1 ]。 让我们用 n=3 验证一下：
- i=1:
(3-1)*1 + 1 = 3 - i=2:
(3-2)*2 + 1 = 3 - i=3:
(3-3)*3 + 1 = 1总和 =3 + 3 + 1 = 7。和示例输出一样！完美，喵~ (´｡• ᵕ •｡`) ♡
题解
这是 C++ 的实现代码，本喵加了一些注释，方便主人理解哦。
#include <iostream>
int main() {
// 使用快速 I/O，这是一个好习惯哦，喵~
std::ios_base::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(nullptr);
int n;
std::cin >> n;
// 结果可能会很大，所以用 long long 来存答案，防止溢出
long long total_pushes = 0;
// 我们从 i=1 到 n 遍历，计算确定序列中每个位置的按钮所需的按键次数
// i 代表我们正在尝试确定第 i 个按钮
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
// --- 计算在第 i 阶段因失败尝试而产生的按键次数 ---
// 在这个阶段，我们已经知道了前 i-1 个按钮。
// 还有 n-(i-1) 个按钮未知，其中 n-i 个是错误的。
// 在最坏情况下，我们会把这 n-i 个错误按钮都试一遍。
// 每一次尝试（先按 i-1 个已知按钮，再按 1 个猜测按钮）都需要按 i 次。
// 所以失败尝试的总按键数是 (n - i) * i
long long pushes_for_failures = (long long)(n - i) * i;
// --- 计算成功按下的那一下 ---
// 不管失败了多少次，最终我们总要成功地按下第 i 个按钮。
// 这一下成功的按键贡献了 1 次。
long long push_for_success = 1;
// 把这个阶段的按键次数加到总数里
total_pushes += pushes_for_failures + push_for_success;
}
std::cout << total_pushes << std::endl;
return 0;
}知识点介绍
这个问题虽然看起来简单，但背后也藏着一些有趣的知识点呢！
最坏情况分析 (Worst-Case Analysis) 这是算法分析中一个非常核心的概念。我们不是计算平均情况，而是要找到一个上界，保证无论输入（在这里是按钮的正确顺序）是什么，算法的成本（按键次数）都不会超过这个值。在这里，“最坏情况”就是运气最差，每次都最后才猜对。
构造法/贪心思想 (Constructive/Greedy Approach) 我们的解法是一步步构造出来的。在每个阶段，我们都只考虑当前这一步的最优策略（或者说，计算当前这一步的最坏情况），然后把所有步骤的成本累加起来，得到最终的解。这种分步解决问题的思想非常常用。
求和公式 (Summation Formulas) (进阶知识点) 我们的答案是
Sum_{i=1 to n} [ (n-i)*i + 1 ]。学过数学的同学可能会发现，这个求和式可以被化简成一个没有循环的数学公式哦！Total = Sum_{i=1 to n} [ (n-i)*i + 1 ]= (Sum_{i=1 to n} 1) + Sum_{i=1 to n} (ni - i^2)= n + n * Sum_{i=1 to n} i - Sum_{i=1 to n} i^2我们知道两个著名的求和公式：
Sum_{i=1 to n} i = n(n+1)/2Sum_{i=1 to n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/6
代入进去化简一下，就能得到一个
O(1)的解法：Total = n + n * [n(n+1)/2] - [n(n+1)(2n+1)/6]化简后可以得到(n^3 + 5n) / 6。用这个公式，即使
n很大，也能瞬间算出答案，是不是很酷，喵~ 不过在比赛中，如果数据范围不大（比如这题的n <= 2000），用循环来写会更直观，也不容易出错。
好啦，这次的题解就到这里啦！希望本喵的讲解对主人有帮助！如果还有其他问题，随时可以再来找我哦~ 喵~ ( >ω<)ﾉ