猫娘也能懂的动态规划！一起来解 Bitwise Slides 吧喵~
哈喽，各位主人，你们最爱的小助手猫娘我今天又来啦，喵~ฅ(>ω<*)ฅ
今天我们要一起挑战的是一道非常有趣的计数问题，来自 Codeforces Round 983 (Div. 2) 的 F 题，Bitwise Slides！这道题需要一点点动态规划的思维，还有对位运算的小小理解。不过别担心，跟着猫娘的节奏，再复杂的问题也会变得清晰起来的喵！
准备好了吗？让我们开始吧！
题目大意喵
想象一下，我们有一个数组 a，还有三个初始为 0 的神奇变量 P, Q, R。我们要按顺序处理数组 a 中的每一个数字 a_i。
每处理一个 a_i，我们必须从下面三个操作中选一个来执行：
- 把
a_i异或给P(也就是P := P ⊕ a_i) - 把
a_i异或给Q(也就是Q := Q ⊕ a_i) - 把
a_i异或给R(也就是R := R ⊕ a_i)
这里 ⊕ 就是按位异或（XOR）操作啦。
不过，有一个非常重要的核心规则必须遵守：在每一次操作之后，P, Q, R 这三个数都不能是两两不相等的。换句话说，每次操作完，必须至少有两个数是相等的。比如 P=Q 或者 P=Q=R 都是可以的，但 P, Q, R 三个数互不相同是绝对禁止的哦！
我们的任务就是，计算从头到尾处理完整个数组，有多少种不同的操作序列是始终满足这个核心规则的。因为答案可能很大，所以需要对 10^9 + 7 取模。
举个例子，如果数组是 [1, 7, 9]，那么 PPP（三次都操作P）、QQQ、RRR 就是三种合法的操作序列。
解题思路喵
一看到这种“按步骤决策”并且“求方案数”的题目，猫娘的 DP雷达就响起来了！这显然可以用动态规划（Dynamic Programming）来解决嘛。
1. DP状态怎么定义？
DP 的核心是定义状态。一个自然的想法是，dp[i][val_P][val_Q][val_R] 表示处理完前 i 个数，P, Q, R 的值分别为 val_P, val_Q, val_R 时的方案数。但是……P, Q, R 的值可能会很大，这根本存不下嘛！此路不通喵。
那我们换个角度。题目中的限制条件是关于 P, Q, R 之间的相等关系，而不是它们具体的值。所以，我们的状态应该围绕这个关系来定义。
在任何一步之后，合法的 (P, Q, R) 关系只有以下四种：
P = Q = RP = Q ≠ RP = R ≠ QQ = R ≠ P
这看起来好多了！我们可以定义 DP 状态为处理完第 i 个数后，P,Q,R 处于这四种关系下分别有多少种方案。
但是，状态转移的时候，我们会发现一个问题。比如当前是 P=Q≠R，值为 (A, A, B)。当我们用下一个数 a_i 更新 R 时，新的状态是 (A, A, B ⊕ a_i)。如果 B ⊕ a_i 恰好等于 A，状态就从 P=Q≠R 转移到了 P=Q=R。所以，转移不仅和当前的关系有关，还和它们之间的差值有关！
这个“差值”，用异或来表示最合适了。比如 P 和 R 的差值就是 P ⊕ R。
所以，我们最终的 DP 状态可以这样定义（在处理完某个数之后）：
w_00:P=Q=R的方案数。m_x0: 一个哈希表（map），记录所有P=Q≠R的方案。m_x0[d]表示满足P=Q且P⊕R = d的方案数。m_0y: 一个哈希表，记录所有Q=R≠P的方案。m_0y[d]表示满足Q=R且P⊕Q = d的方案数。m_xx: 一个哈希表，记录所有P=R≠Q的方案。m_xx[d]表示满足P=R且P⊕Q = d的方案数。
2. 状态太多？用“懒人”思想优化！
虽然用了 map，但每次处理一个 a_i，比如对于 m_x0 中的所有差值 d，它们都可能变成 d ⊕ a_i。难道我们要遍历整个 map 去更新 key 吗？太慢啦！
这里有一个非常帅气的技巧——懒标记（Lazy Tag），或者叫差分思想。我们不真的去改 map 里的 key，而是为每个 map 配备一个“全局异或值” delta。比如 d_x0。map 中存储的键 k 实际上代表的真实差值是 k ⊕ d_x0。当所有差值都要异或 v 时，我们只需要更新 d_x0 := d_x0 ⊕ v 就行啦！是不是很巧妙？
方法详解喵
好了，有了 DP 状态和优化技巧，我们来梳理一下处理每个 a_i (设其值为 v) 时的具体转移逻辑。
1. 总方案数 W 的更新
我们先考虑总方案数 W 是如何从上一步 W_prev 变成这一步 W_curr 的。
对于上一步的任意一个合法方案，我们有 3 个操作选择（P, Q 或 R）。
- 在大多数情况下，只有一个选择是合法的。例如，如果当前是
P=Q≠R，你把v异或给R，得到(P, P, R⊕v)，这肯定是合法的（因为P=P）。但如果你异或给P，得到(P⊕v, P, R)，只有当P⊕v=R时才合法。 - 什么时候会有额外的合法选择呢？
- 当
P=Q=R时，无论v异或给谁，新状态都是合法的。所以有 3 个选择。 - 当
P=Q≠R且P⊕R = v时，把v异或给P或Q也会产生合法的状态。所以也有 3 个选择。
- 当
总结一下，一个方案在当前步骤能获得的合法选择数是 1 + 2 * (如果它满足特殊条件)。
所以，总方案数的递推公式就是： W_curr = W_prev + 2 * (满足特殊条件的方案总数)
而“满足特殊条件的方案总数”就是： w_00 (P=Q=R的方案数) + c_x0_v + c_0y_v + c_xx_v 其中 c_x0_v 指的是 m_x0 中差值为 v 的方案数，其他两个 c 也类似。
2. DP 状态的转移
这一部分稍微有点绕，但请跟紧猫娘的爪子！
当处理值 v 时，我们会产生一些新的状态。
新的
P=Q=R状态 (w_00_new) 怎么才能得到P'=Q'=R'呢？只能是从一个本身不全相等的状态，通过异或v恰好把那个不同的数变得和另外两个一样。- 比如，从
P=Q≠R状态（差值为d）出发，把v异或给R。如果d=v，那么R就变成了R⊕v = P，于是P'=Q'=R'。 所以，新的w_00就等于所有差值为v的方案数之和：w_00_new = c_x0_v + c_0y_v + c_xx_v
- 比如，从
新的 map 状态 这一步是整个算法的精华！经过一番复杂的对称性推导（相信猫娘，这里面全是数学魔法！），我们可以得到每一类新产生的、差值为
v的方案数：新产生的
P'=Q'≠R'且差值为v的方案数 (nv_x0) 来自：- 旧的
P=Q=R状态，选择更新R。 - 旧的
Q=R≠P且差值为v的状态，选择更新Q。 - 旧的
P=R≠Q且差值为v的状态，选择更新P。 所以：nv_x0 = w_00 + c_0y_v + c_xx_v
- 旧的
同理，我们可以得到另外两类的数量：
nv_0y = w_00 + c_x0_v + c_xx_vnv_xx = w_00 + c_x0_v + c_0y_v
3. 代码逻辑
现在我们来看看题解给出的代码是如何实现这个过程的。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>
#include <unordered_map>
void solve() {
int n;
std::cin >> n;
std::vector<int> a(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
std::cin >> a[i];
}
long long M = 1e9 + 7;
long long W = 1; // 总方案数，初始为1 (P=Q=R=0)
long long w_00 = 1; // P=Q=R 的方案数，初始为1
// 三个map，以及它们对应的懒标记delta
std::unordered_map<int, long long> m_x0, m_0y, m_xx;
int d_x0 = 0, d_0y = 0, d_xx = 0;
for (int v : a) {
// 查找当前差值为 v 的方案数
long long c_x0_v = 0;
if (m_x0.count(v ^ d_x0)) { // 真实差值d=v, 查找的key是 d^delta
c_x0_v = m_x0.at(v ^ d_x0);
}
long long c_0y_v = 0;
if (m_0y.count(v ^ d_0y)) {
c_0y_v = m_0y.at(v ^ d_0y);
}
long long c_xx_v = 0;
if (m_xx.count(v ^ d_xx)) {
c_xx_v = m_xx.at(v ^ d_xx);
}
// 1. 更新总方案数 W
long long num_extra_choices_paths = (w_00 + c_x0_v + c_0y_v + c_xx_v) % M;
W = (W + 2 * num_extra_choices_paths) % M;
if (W < 0) W += M;
// 2. 计算下一轮的 w_00
long long w_00_new = (c_x0_v + c_0y_v + c_xx_v) % M;
// 保存旧的delta，用于在map中定位
int old_d_x0 = d_x0;
int old_d_0y = d_0y;
int old_d_xx = d_xx;
// 3. 计算新产生的、差值为 v 的各类方案数
long long nv_x0 = (w_00 + c_0y_v + c_xx_v) % M;
long long nv_0y = (w_00 + c_x0_v + c_xx_v) % M;
long long nv_xx = (w_00 + c_x0_v + c_0y_v) % M;
// 4. 更新懒标记
d_x0 ^= v;
d_0y ^= v;
d_xx ^= v;
// 5. 更新DP状态
w_00 = w_00_new;
// 将新产生的方案数存入map
// 旧的map中的条目因为delta的改变，已经自动“更新”了它们的实际差值
// 这里是把新产生的方案（差值都为v）加入map
// 定位的key是 old_d_x0, 因为 old_d_x0 ^ d_x0_new = old_d_x0 ^ (old_d_x0 ^ v) = v
if (nv_x0 > 0) m_x0[old_d_x0] = nv_x0; else m_x0.erase(old_d_x0);
if (nv_0y > 0) m_0y[old_d_0y] = nv_0y; else m_0y.erase(old_d_0y);
if (nv_xx > 0) m_xx[old_d_xx] = nv_xx; else m_xx.erase(old_d_xx);
}
std::cout << W << "\n";
}
int main() {
std::ios_base::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(NULL);
int t;
std::cin >> t;
while (t--) {
solve();
}
return 0;
}这段代码的逻辑有些紧凑，特别是 map 的更新方式。它直接用新生成的方案数 nv_x0 覆盖了 map 中对应的位置。这背后隐藏的逻辑是，原有的方案路径要么转换为其他类型的状态，要么其差值被 delta 的改变而隐式更新，而新生成的路径则统一汇集到差值为 v 的这一条上。
知识点小课堂喵
1. 位运算之异或 (XOR)
异或（^）是一个神奇的二进制运算。你可以把它想象成“不带进位的加法”。
a ^ a = 0(一个数和自己异或等于0)a ^ 0 = a(一个数和0异或还是它自己)a ^ b = b ^ a(交换律)(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)(结合律)
在题目里，a^a=0 这个性质被用来“消除”差值，使得两个不同的数变得相同。结合律和交换律则让 delta 懒标记的实现变得非常方便。
2. 动态规划 (DP)
DP 的本质是“记住过去，解决未来”。我们把一个大问题分解成一个个小阶段，每个阶段的状态只依赖于前一个阶段。通过记录和利用之前阶段的计算结果（备忘录），来避免重复计算，从而高效地解决问题。这道题就是典型的按序列步骤划分阶段的 DP。
3. 哈希表 (std::unordered_map)
当我们的 DP 状态的某个维度（比如本题的“差值”）取值范围很大，但实际用到的状态数量又不多时，用数组来存会浪费大量空间。这时，哈希表（在 C++ 中是 std::unordered_map）就闪亮登场啦！它只为实际存在的 (key, value) 对分配空间，非常适合存储这种稀疏的状态。
总结喵
呼~ 这道题确实有点挑战性，对吧？它把动态规划、位运算和哈希表巧妙地结合在了一起。关键在于正确地识别出问题的核心结构——P, Q, R 之间的相等关系和异或差值，并为此设计出合适的 DP 状态。
希望通过猫娘的讲解，主人对这类计数 DP 问题有了更深的理解喵！多多练习，你的算法能力一定会像猫咪的跳跃能力一样，越来越强的！
那么，我们下次再见啦，喵~ ( ^ ω ^ )