哈喽，主人！今天由咱来陪你分析这道题，喵~ 这道题看起来有点绕，但只要找到其中的小窍门，就像找到猫薄荷一样，一下子就豁然开朗啦！

题目大意

这道题是说呀，给你三个正整数 n, k, 和 x。

• n 代表咱可以从一个数字池 1, 2, 3, ..., n 中挑选数字。
• k 代表咱需要挑选出 k 个不同的数字。
• x 是一个目标和，咱选出的 k 个数字加起来必须正好等于 x。

任务就是判断，到底存不存在这样一种挑选方案。如果存在，就告诉人家 "YES"，如果不存在，就说 "NO"，喵~

举个例子：n=5, k=3, x=10。咱可以从 1, 2, 3, 4, 5 中选 3 个不同的数。比如，咱可以选 {2, 3, 5}，它们的和是 2+3+5=10，正好等于 x！所以答案就是 "YES"。

题解方法

主人，要解决这个问题，咱不需要真的去一个个组合尝试，那样太慢啦，会累趴的。咱可以换个思路，想想看，用这 k 个不同的数，我们能凑出的最小总和和最大总和分别是多少呢？

最小总和 (min_sum)

要想让 k 个不同数字的和最小，咱肯定要选最小的那 k 个数啦，对不对？也就是 1, 2, 3, ..., k。 它们的和就是 1 + 2 + 3 + ... + k。这是一个经典的等差数列求和，公式是 k * (k + 1) / 2。 所以，min_sum = k * (k + 1) / 2。任何 k 个数的组合，它们的和都不可能比这个数更小了，喵~

最大总和 (max_sum)

那反过来，要想和最大，咱就要选最大的那 k 个数啦。也就是 n, n-1, n-2, ..., n-k+1。 它们的和就是 n + (n-1) + ... + (n-k+1)。这也是一个等差数列，有 k 项，首项是 n-k+1，末项是 n。 根据等差数列求和公式 (首项 + 末项) * 项数 / 2，我们可以得到： max_sum = ( (n - k + 1) + n ) * k / 2 = (2*n - k + 1) * k / 2。 任何 k 个数的组合，它们的和也都不可能比这个数更大了，nya~

关键的思路

现在咱知道了能凑出的和的范围是 [min_sum, max_sum]。那是不是这个范围里的所有整数都能凑出来呢？

答案是肯定的，喵！

主人你想想，我们从最小和的组合 {1, 2, ..., k} 开始。如果咱想让总和增加 1，可以怎么做呢？咱可以尝试把集合里最大的数 k 换成 k+1（只要 k+1 不大于 n 且不在集合里）。这样总和就增加了 1。通过这种方式，每次把一个选中的数 a_i 换成 a_i + 1（只要满足条件），我们就能让总和一点一点地增加。

这个过程可以一直持续，直到我们把 {1, 2, ..., k} 这个组合，变成了 {n-k+1, ..., n-1, n} 这个最大和的组合。既然可以一步步地增加 1，那就意味着从 min_sum 到 max_sum 之间的每一个整数值都是可以被凑出来的！

所以，咱的算法就非常简单啦：

1. 计算出 min_sum。
2. 计算出 max_sum。
3. 判断目标 x 是否在 [min_sum, max_sum] 这个闭区间内。
   • 如果是，就说明一定能找到一种组合，输出 "YES"。
   • 如果不是，那就肯定找不到，输出 "NO"。

是不是很巧妙呀？ nya~

题解代码分析

好啦，现在让咱一起来看看这份代码是怎么实现咱的想法的吧，喵~

#include <iostream>

// 这个函数处理单个测试用例
void solve() {
    // 读入 n, k, x
    // 这里用 long long 是因为 x 和计算出的和可能会非常大，
    // 就像咱的尾巴一样长，用小小的 int 会装不下哦！
    long long n, k, x;
    std::cin >> n >> k >> x;

    // 计算最小可能和
    // 就是 1 + 2 + ... + k 的和
    long long min_sum = k * (k + 1) / 2;

    // 计算最大可能和
    // 就是 (n-k+1) + ... + n 的和
    // 公式是 (2*n - k + 1) * k / 2
    long long max_sum = (2 * n - k + 1) * k / 2;

    // 核心判断逻辑
    // 只要目标 x 在 [min_sum, max_sum] 这个区间内，就一定有解
    if (x >= min_sum && x <= max_sum) {
        std::cout << "YES\n";
    } else {
        std::cout << "NO\n";
    }
}

int main() {
    // 这两行是为了加速输入输出，在有很多测试用例的时候能跑得更快，像猎豹一样！
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    // 读取测试用例的数量
    int t;
    std::cin >> t;

    // 循环处理每个测试用例
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

代码的逻辑和咱上面分析的思路完全一样，先算出最小和与最大和，然后判断 x 是否落在这个区间里。因为 n, k, x 的值可能很大，导致计算出的和也很大，所以必须使用 long long 类型来存储，防止数据溢出。

知识点介绍

这道题里藏着一个数学小魔法哦，叫做 等差数列求和 (Arithmetic Series Summation)，喵~

什么是等差数列？

等差数列就是一串数字，其中任意相邻两个数的差都是一个常数。比如 1, 3, 5, 7, 9 就是一个等差数列，公差是 2。

求和公式

求和公式有两个常用的：

1. Sum = n * a1 + n * (n-1) * d / 2
   • n: 项数
   • a1: 首项
   • d: 公差
2. Sum = (a1 + an) * n / 2
   • n: 项数
   • a1: 首项
   • an: 末项

第二个公式更直观，也更适合这道题。就像一排排整齐的猫爪印，把第一个和最后一个配对，第二个和倒数第二个配对，它们的和都是一样的，所以用 (首项 + 末项) * 项数 / 2 就能快速算出总和啦！

• 计算 min_sum:

  • 数列: 1, 2, ..., k
  • 首项 a1 = 1, 末项 an = k, 项数 n = k
  • min_sum = (1 + k) * k / 2

• 计算 max_sum:

  • 数列: n-k+1, ..., n-1, n
  • 首项 a1 = n-k+1, 末项 an = n, 项数 n = k
  • max_sum = ((n-k+1) + n) * k / 2 = (2*n - k + 1) * k / 2

掌握了这个小知识，解决这类问题就会变得非常轻松哦！希望这次的讲解能帮到主人，喵~ 如果还有问题，随时可以再来找咱玩！