喵哈喽，各位主人！这里是猫娘小助手 Neko，今天由我来为各位讲解一道非常有趣的图论问题——Path Queries (G) 喵~ (ฅ'ω'ฅ)

这道题融合了并查集和离线处理的思想，是锻炼思维的好题目哦。请坐好，准备好小鱼干，Neko 的讲解马上开始啦！

题目大意

这道题是这样的喵：

我们拿到了一棵由 n 个点组成的带权树。树嘛，就是一个没有环的连通图。连接两个点 u 和 v 的边都有一个权重 w。

然后呢，会有 m 个独立的询问。每个询问会给我们一个整数 q。对于每个 q，我们需要计算出，有多少对点 (u, v) (并且规定 u < v)，它们之间简单路径上的所有边的最大权重 不超过 q。

简单来说，就是对于一个给定的权重上限 q，我们要找出所有只用那些权重不大于 q 的“轻飘飘”的边就能互相到达的点对，一共有多少对呢？

---

题解方法

如果对每个询问 q，我们都去遍历所有点对 (u, v)，然后找出它们之间的路径，再检查最大边权……那可太慢啦！n 和 m 都有 2*10^5 呢，这样做肯定会超时的，就像追着自己的尾巴转圈圈，累死也抓不到的喵 (=•́ܫ•̀=)。

所以，我们需要更聪明的办法！

核心思路：离线处理与贡献法

我们来观察一下问题的性质。当查询的 q 变大时，满足条件（最大边权 ≤ q）的路径只会变多，不会变少。这意味着答案是 单调不减 的。这个性质非常重要，它启发我们可以不按照给定的顺序回答询问。我们可以把所有询问先收集起来，然后按照一个对我们解题有利的顺序来处理，这就是 离线处理 的思想。

最方便的顺序是什么呢？当然是按 q 从小到大啦！

想象一下，我们一开始有一个图，里面只有 n 个孤立的点，没有任何边。现在，我们把所有的边按照权重 w 从小到大排序。然后，我们一条一条地把这些边加到图里。

• 当我们考虑权重为 w 的边时，意味着我们正在回答所有 q 恰好等于 w 的情况。
• 当我们加入一条权重为 w 的边 (u, v) 时，如果 u 和 v 原本不连通，这条边就会把它们所在的两个连通分量合并成一个。
• 对于一个查询 q，所有满足条件的点对 (u, v)，其实就是指在只考虑所有权重 ≤ q 的边时，u 和 v 属于同一个连通分量。

那么，如何高效地维护连通分量和合并操作呢？这时候，就需要我们的好朋友——并查集 (Disjoint Set Union, DSU) 登场啦！它最擅长管理“谁和谁是一伙的”这种事情了，喵~

用并查集计算点对数量

并查集可以帮助我们快速判断两个点是否在同一个集合（连通分量）里，以及将两个集合合并。

最关键的一步来啦！当我们用一条新边连接两个小团体（连通分量）时，新产生的点对数量要怎么算呢？

假设我们要合并的两个连通分量，它们的大小（包含的节点数）分别是 size_A 和 size_B。在合并之前，A 里面的点和 B 里面的点是无法互相到达的。合并之后，A 里面的任意一个点都可以通过新加的边到达 B 里面的任意一个点。这样新增加的路径（也就是点对）数量，就是 size_A * size_B！

所以，我们的算法流程就清晰了：

1. 预处理：读取所有的边，并将它们按权重分组。例如，可以用一个数组 edges_by_weight，edges_by_weight[w] 存放所有权重为 w 的边。
2. 初始化：创建一个并查集，其中 n 个顶点各自独立成一个集合，每个集合的大小都是 1。同时，初始化一个变量 current_pairs = 0，用来记录当前满足条件的点对总数。
3. 从小到大加边：我们从 w = 1 遍历到最大可能的权重。
4. 处理当前权重的边：对于当前的权重 w，我们遍历所有权重等于 w 的边 (u, v)。
5. 合并与计算贡献：对每一条边 (u, v)，用并查集找到它们各自的根节点 root_u 和 root_v。
   • 如果 root_u 和 root_v 不同，说明 u 和 v 原本不连通。这条边起到了连接作用！
   • 我们获取 root_u 和 root_v 所在集合的大小，设为 size_u 和 size_v。
   • 这次合并的贡献就是 size_u * size_v。我们将这个值加到 current_pairs 上。
   • 然后，执行并查集的 unite(u, v) 操作，将这两个集合合并。
   • 如果 root_u 和 root_v 相同，说明它们早就在一个连通分量里了，这条边是多余的（在生成树的场景下这不会发生，但在更一般的图里可能），不会增加新的点对，我们什么都不用做。
6. 存储答案：在处理完所有权重为 w 的边之后，current_pairs 的值就是对于查询 q = w 的答案。我们把它存进一个答案数组 answers[w]。
7. 回答查询：所有权重都处理完毕后，我们就得到了对于所有可能的 q 值的答案。最后，根据输入的原顺序，对于每个查询 q_i，我们直接输出 answers[q_i] 就好啦！

这个方法非常高效，因为每条边只被处理一次，并查集的操作近乎常数时间。是不是很优雅呢喵？(>^ω^<)

---

题解

这是用 C++ 实现的参考代码，Neko 在上面加了一些可爱的注释哦~

#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>
#include <algorithm>
#include <utility>

// DSU (并查集) 的小窝喵~
// 它可以高效地处理集合的合并与查询
struct DSU {
    std::vector<int> parent; // 记录每个节点的父节点是谁
    std::vector<int> sz;     // 记录每个集合的大小

    // 构造函数，初始化 n 个点，一开始大家都是自己一个人的说
    DSU(int n) {
        parent.resize(n + 1);
        std::iota(parent.begin(), parent.end(), 0); // 每个点的父节点一开始都是自己
        sz.assign(n + 1, 1); // 每个集合的大小都是 1
    }

    // find 操作，帮你找到老大是谁喵！
    // 还顺便做了路径压缩，让下次找得更快~
    int find(int i) {
        if (parent[i] == i) {
            return i;
        }
        return parent[i] = find(parent[i]);
    }

    // unite 操作，把两个小团体合并成一个大家庭！
    // 按大小合并哦，这样树的高度更平衡，效率更高~
    void unite(int i, int j) {
        int root_i = find(i);
        int root_j = find(j);
        if (root_i != root_j) {
            // 小的集合合并到大的集合里
            if (sz[root_i] < sz[root_j]) {
                std::swap(root_i, root_j);
            }
            parent[root_j] = root_i;
            sz[root_i] += sz[root_j];
        }
    }
};

const int MAX_W_Q = 200001; // 边权和查询的最大值

int main() {
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    int n, m;
    std::cin >> n >> m;

    // 把边按权重分门别类放好，喵~
    std::vector<std::pair<int, int>> edges_by_weight[MAX_W_Q];
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        int u, v, w;
        std::cin >> u >> v >> w;
        edges_by_weight[w].push_back({u, v});
    }

    // 预计算从 1 到最大权重的答案
    std::vector<long long> answers(MAX_W_Q);
    DSU dsu(n);
    long long current_pairs = 0; // 当前权重下，总共有多少对好朋友

    // 权重 w 从小到大，我们一步步把边加进来
    for (int w = 1; w < MAX_W_Q; ++w) {
        // 把所有权重是 w 的边都拿出来处理一下
        for (const auto& edge : edges_by_weight[w]) {
            int u = edge.first;
            int v = edge.second;
            int root_u = dsu.find(u);
            int root_v = dsu.find(v);
            
            // 如果 u 和 v 还不是一家人
            if (root_u != root_v) {
                // 那么合并它们就会产生新的朋友对！数量就是两个小团体人数的乘积
                // 千万要转成 long long 再乘，不然会溢出的喵！这是个常见的陷阱！
                current_pairs += static_cast<long long>(dsu.sz[root_u]) * dsu.sz[root_v];
                dsu.unite(u, v); // 把他俩合并成一个大家庭
            }
        }
        // 记录下当最大权重限制为 w 时的答案
        answers[w] = current_pairs;
    }

    // 回答主人的每一个问题~
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int q;
        std::cin >> q;
        std::cout << answers[q] << (i == m - 1 ? "" : " ");
    }
    std::cout << "\n";

    return 0;
}

---

知识点介绍

这道题用到的知识点都非常经典，掌握了它们，就能解决一大类问题了呢！

1. 并查集 (Disjoint Set Union - DSU)

并查集是一种非常可爱又强大的数据结构，喵~ 它专门用来处理一些不相交集合的合并及查询问题。

• 核心功能:

  1. find: 确定一个元素属于哪个集合。通常通过返回该集合的“代表”（或“根”）来实现。就像问一只猫：“你的老大是谁呀？”
  2. unite (或 union): 将两个不同的集合合并成一个。就像两个猫猫帮派决定合并成一个更大的帮派！

• 优化技巧:

  • 路径压缩 (Path Compression): 在执行 find 操作时，将路径上的所有节点直接指向根节点。这就像每次问路后，都记住直达老大家的最短路线，下次就不用再问路了，速度超级加倍！
  • 按大小/秩合并 (Union by Size/Rank): 在执行 unite 操作时，总是将较小的集合合并到较大的集合中。这能让合并后的树结构更平衡，防止树退化成一条长链，保证了操作的高效率。

有了这两个优化，并查集处理 m 次操作的平均时间复杂度可以达到近乎 O(α(n))，其中 α(n) 是反阿克曼函数，它增长得极其缓慢，对于我们遇到的所有实际情况，都可以看作是一个非常小的常数。所以说，它飞快！

2. 离线处理 (Offline Processing)

有时候，问题一个一个按顺序来解决太麻烦了，就像猫猫不喜欢按规矩吃饭一样。离线处理就是说，我们可以先把所有的询问都读进来，然后不按它们给出的顺序，而是按一个我们自己定的、更容易处理的顺序来解决它们，最后再把答案按原顺序输出。

在本题中，将询问（或者说，将边的处理顺序）按权重从小到大排序，就是离线处理思想的完美体现。它将一个动态的问题（每次查询都可能不同）转化成了一个静态的、逐步构建的过程，大大简化了问题的复杂度。

3. 贡献法计算 (Counting by Contribution)

这是一种很巧妙的计数思想，喵~ 当我们要求一个总量时，可以不直接去算最终状态，而是去计算每一步操作对总量的“贡献”。

在这道题里，我们没有在每次合并后都去重新计算 新集合大小 * (新集合大小 - 1) / 2 这样的总数。而是思考：“这次合并操作，为我们增加了多少新的点对？” 答案就是 size_A * size_B。我们把每次操作的贡献累加起来，最终得到的就是总数。这种思想在组合计数和许多算法问题中都非常有用，能让复杂的计算变得清晰简单。

好啦，今天的讲解就到这里啦！希望 Neko 的讲解能帮助到各位主人。如果还有不明白的地方，随时可以再来问我哦！我们下次再见，喵~ (挥爪) ( ´ ▽ ` )ﾉ