喵~ 主人，你好呀！今天我们来解决一道关于取模运算的有趣问题，D. Turtle Tenacity: Continual Mods。别看它名字长，其实是个很可爱的题目呢，一起来看看吧！🐱

题目大意

题目会给我们一个数组 a，里面有 n 个正整数。我们的任务是，判断一下我们能不能把这个数组 a 重新排列成一个新的数组 b，使得 b1 mod b2 mod ... mod bn 的结果不等于 0。

这里的取模运算 mod 是从左到右依次计算的。比如说，A mod B mod C 其实是 (A mod B) mod C。

举个例子：

• 如果数组是 [1, 2, 3, 4, 5, 6]，我们可以不重新排列，直接计算 1 mod 2 mod 3 mod 4 mod 5 mod 6。
  • 1 mod 2 = 1
  • 1 mod 3 = 1
  • 1 mod 4 = 1
  • ... 最后结果是 1，不等于 0。所以这种情况输出 "YES"。
• 如果数组是 [3, 3, 3, 3, 3]，不管怎么排列，都是 3 mod 3 mod 3 mod 3 mod 3。
  • 3 mod 3 = 0
  • 0 mod 3 = 0
  • ... 结果一定是 0。所以这种情况输出 "NO"。

简单来说，就是找一种排列方式，让一长串的 mod 运算结果别变成 0 就行啦！

题解方法

这道题看起来有点复杂，一长串的 mod 让人头晕。但是喵，别怕，我们来一步步分析它的性质，就能找到破解它的方法啦！

首先，我们来观察一下取模运算的一个关键性质：x mod y 的结果一定小于 y (假设 x, y 都是正数)。

那么，对于我们的表达式 b1 mod b2 mod ... mod bn：

• b1 mod b2 的结果 r1，一定满足 r1 < b2。
• r1 mod b3 的结果 r2，一定满足 r2 < b3。
• 以此类推，最终的结果 R 一定小于最后一个数 bn。

我们的目标是让最终结果 R 不为 0。

怎么才能让结果不为 0 呢？最简单的方法，就是让它从一开始就不是 0，并且一直保持下去。

我们不妨先把数组 a 从小到大排个序，这样处理起来会方便很多。排序后，最小的元素就是 a[0] 啦。

现在我们来分情况讨论，喵~

情况一：最小的元素是独一无二的

如果排序后，a[0] 和 a[1] 不相等，说明最小的那个数在整个数组里只有一个。

这可是个天大的好消息！我们可以把这个唯一的最小元素 a[0] 放在排列 b 的第一个位置，即 b1 = a[0]。 那么计算 b1 mod b2 时，因为 b1 是最小的，所以任何其他的 b2 都比 b1 大。 根据取模的性质，b1 mod b2 = a[0] mod b2 = a[0]。 现在，表达式变成了 a[0] mod b3 mod b4 ...。 因为 a[0] 是全局最小的元素，所以后面的 b3, b4, ... 也都比 a[0] 大。 所以，a[0] mod b3 = a[0]，a[0] mod b4 = a[0]... 无论后面跟的是什么，结果永远是 a[0]！ 因为题目给的数都是正整数，所以 a[0] >= 1，最终结果 a[0] 肯定不等于 0。

所以，只要最小的元素是唯一的，我们总能构造出一种排列让结果不为 0。答案就是 "YES"！

情况二：最小的元素不唯一

如果排序后 a[0] == a[1]，说明最小的元素至少有两个。

这时候，如果我们还像刚才那样把 a[0] 放在 b1，那会发生什么呢？ 排列 b 中，迟早会出现另一个最小元素，我们假设它在 bk 的位置，bk = a[0]。 那么在计算到 ... mod bk 这一步时，前面的计算结果我们设为 R。因为我们是从 b1=a[0] 开始的，并且后面的数都大于等于 a[0]，所以 R 的值会是 a[0]。 于是，我们就遇到了 a[0] mod a[0]，结果一下子就变成 0 了！一旦结果变成 0，0 mod 任何数都还是 0，就再也无法挽救了。呜...

所以，当最小元素不唯一时，把 a[0] 放在开头是行不通的。

我们得换个思路。能不能找一个其他的数 x 放在 b1，然后把最小的数 a[0] 放在 b2 呢？ b1 = x, b2 = a[0]。 表达式的第一步是 x mod a[0]。 如果我们能找到一个数组中的元素 x，使得 x mod a[0] 的结果不为 0，也就是 x 不是 a[0] 的倍数，那么我们就成功了一半！

假设我们找到了这样的 x。令 r = x mod a[0]。我们知道 0 < r < a[0]。 现在表达式变成了 r mod b3 mod b4 ...。 因为 r < a[0]，而 a[0] 是数组中最小的元素，所以 r 比数组里任何一个元素都要小！ 那么，r mod b3 = r，r mod b4 = r... 最终结果就是 r，它不等于 0！

所以，在这种情况下，我们只需要检查一下，数组中是否存在一个数 a[i]，它不能被最小的数 a[0] 整除。

• 如果存在这样的数，我们就可以把它放在 b1，把 a[0] 放在 b2，问题解决！答案是 "YES"。
• 如果不存在这样的数，也就是说，数组里所有的数都是最小数 a[0] 的倍数。那会怎么样呢？ 无论我们怎么排列，比如 b1, b2, ...，它们都是 a[0] 的倍数。 b1 mod b2 的结果也一定是 a[0] 的倍数（或者是0）。 然后这个结果再 mod b3，结果还是 a[0] 的倍数... 因为排列中必然存在 a[0] 这个数，假设它在 bk。当计算到 ... mod bk 时，前面的结果 R 是 a[0] 的倍数，再对 bk = a[0] 取模，R mod a[0] 就等于 0 了。 所以，如果所有数都是最小数的倍数，那怎么排都无法避免结果变成 0。答案就是 "NO"。

总结一下我们的策略：

1. 对数组 a 进行排序。
2. 检查最小的元素 a[0] 是否唯一（即 a[0] != a[1]）。如果是，输出 "YES"。
3. 如果 a[0] 不唯一，就遍历整个数组，检查是否存在 a[i] 不能被 a[0] 整除。如果存在，输出 "YES"。
4. 如果 a[0] 不唯一，且所有元素都能被 a[0] 整除，输出 "NO"。

这个思路是不是很清晰呀？喵~ >ω<

题解代码

下面是这个思路的 C++ 实现，我已经加上了可爱的注释哦！

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <numeric>

void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<long long> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        std::cin >> a[i];
    }
    
    // 先把数组从小到大排个序喵~
    // 这样最小的元素 a[0] 就乖乖地跑到最前面啦。
    std::sort(a.begin(), a.end());

    // 情况一：检查最小的元素是不是独一无二的。
    // 如果 a[0] 和 a[1] 不一样，那 a[0] 就是唯一的最小喵。
    if (a[0] != a[1]) {
        // 如果是唯一的，我们把它放在排列的第一个，结果肯定不会是0。
        // 所以是 "YES" 啦！
        std::cout << "YES\n";
        return;
    }

    // 情况二：最小的元素不唯一 (a[0] == a[1])。
    // 我们需要找一个“叛逆”的元素，它不能被 a[0] 整除。
    bool possible = false;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (a[i] % a[0] != 0) {
            // 找到一个！太好啦！
            // 只要找到一个，我们就有办法让结果不为0，赶紧记下来然后溜走~
            possible = true;
            break;
        }
    }

    if (possible) {
        // 如果找到了这样的数，就输出 "YES"。
        std::cout << "YES\n";
    } else {
        // 如果所有数都乖乖地是 a[0] 的倍数，那就没办法了...
        // 怎么排结果都会变成0，只能 "NO" 了喵...
        std::cout << "NO\n";
    }
}

int main() {
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);
    int t;
    std::cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

知识点介绍

这道题虽然简单，但背后也藏着一些重要的思想和知识点呢！

1. 取模运算 (Modulo Operation)

   • 定义：a mod b 表示 a 除以 b 的余数。
   • 关键性质：0 <= a mod b < b (对于正数 b)。这个性质是解题的突破口，它告诉我们运算结果会不断变小。
   • 整除性质：如果 a 是 b 的倍数，则 a mod b = 0。这也是我们判断最终结果是否为零的关键。

2. 排序 (Sorting)

   • 在解决数组问题时，排序是一个非常强大的预处理步骤。
   • 它可以帮助我们快速定位到特殊元素，比如本题中的最小值。通过排序，我们能轻易地比较 a[0] 和 a[1] 来判断最小值的唯一性，大大简化了问题。

3. 分类讨论 (Casework)

   • 这是解决问题时一种非常重要的逻辑思维方式。当一个问题在不同条件下有不同的表现时，我们可以根据这些条件将其分解为多个更简单的子问题。
   • 在本题中，我们根据“最小值是否唯一”这个条件，将问题分成了两种情况，每种情况的解决方法都非常直观。

4. 构造性证明 (Constructive Proof)

   • 当我们需要证明“存在一种可能性”时（比如本题的 "YES" 情况），最好的方法就是直接构造出一个符合条件的例子。
   • 我们通过构造 b = [min_val, ...] 或 b = [x, min_val, ...] 这样的具体排列，直接证明了结果可以不为零。这种方法非常直观且有说服力。

好啦，这次的题解就到这里啦！希望能帮助到主人哦。如果还有其他问题，随时可以再来找我喵！🐾