喵~ Codeforces 486A - Calculating Function 解题报告喵~

哈喵~！各位主人，今天我们来看一道非常有趣的数学题，来自 Codeforces 的 486A - Calculating Function。这道题看起来有点吓人，因为数字 n 可以非常非常大，但是只要我们静下心来，像小猫咪一样仔细观察，就能发现其中的小秘密哦~ ฅ'ω'ฅ

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题目大意喵

题目让我们计算一个函数 f(n) 的值，这个函数是这样定义的：

f(n) = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + ... + (-1)^n * n

简单来说，就是一个从 1 到 n 的交错序列求和。奇数项是负的，偶数项是正的。

输入：一个正整数 n (1 ≤ n ≤ 10^15)。 输出：f(n) 的计算结果。

注意到 n 的范围了吗？高达 10^15！如果我们用一个循环从 1 加到 n，那肯定会超时（TLE）的啦。所以，我们必须找到一个更聪明的办法，一个 O(1) 的数学方法，喵！

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解题思路喵~

让我们来找找规律吧！就像猫咪寻找藏起来的毛线球一样，耐心一点总能发现线索的~

我们可以把这个序列两两分组，看看会发生什么奇妙的事情：

(-1 + 2) + (-3 + 4) + (-5 + 6) + ...

看到了吗？每一对相邻的数（一个负奇数和一个正偶数）加起来都等于 +1 耶！

-1 + 2 = 1-3 + 4 = 1-5 + 6 = 1

这个发现是解决问题的关键哦！现在我们只需要根据 n 的奇偶性来分情况讨论啦。

情况一：当 n 是偶数时

如果 n 是一个偶数，比如 n = 4 或者 n = 10，那么整个序列正好可以被分成 n / 2 个这样的小组。

f(4) = (-1 + 2) + (-3 + 4) = 1 + 1 = 2 这里有 4 / 2 = 2 组。

f(10) = (-1+2) + (-3+4) + (-5+6) + (-7+8) + (-9+10) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 这里有 10 / 2 = 5 组。

每一组的和都是 1，总共有 n / 2 组。所以，当 n 是偶数时，f(n) 的结果就是 n / 2！是不是超级简单喵？

情况二：当 n 是奇数时

如果 n 是一个奇数，比如 n = 5，那么序列的前 n - 1 项可以完美地配成对，但最后一项 -n 会被孤零零地剩下来。

f(5) = (-1 + 2) + (-3 + 4) - 5

前面 n - 1 (也就是 4) 项可以分成 (n - 1) / 2 组，每组的和是 1。所以这部分的和是 (n - 1) / 2。

然后，我们还要加上那个被剩下的孤单的最后一项 -n。

所以，f(n) = (n - 1) / 2 - n。

我们来化简一下这个式子： f(n) = (n - 1 - 2n) / 2 = (-n - 1) / 2 = -(n + 1) / 2

我们用 n = 5 来验证一下： f(5) = -(5 + 1) / 2 = -6 / 2 = -3。 而 (-1+2)+(-3+4)-5 = 1+1-5 = -3。完全正确，太棒了喵！

总结一下我们的发现：

• 如果 n 是偶数，f(n) = n / 2
• 如果 n 是奇数，f(n) = -(n + 1) / 2

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解题代码（C++）

有了上面的数学公式，代码就变得非常简单啦。只需要判断一下 n 的奇偶性，然后套用对应的公式就好啦。

#include <iostream>

int main() {
    // 这两行是为了让输入输出更快一点，是个好习惯喵~
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    // 因为 n 最大有 10^15，所以要用 long long 类型才装得下哦！
    long long n;
    std::cin >> n;

    // 判断 n 是不是偶数
    if (n % 2 == 0) {
        // 如果是偶数，就输出 n / 2
        std::cout << n / 2 << std::endl;
    } else {
        // 如果是奇数，就输出 -(n + 1) / 2
        std::cout << -(n + 1) / 2 << std::endl;
    }

    return 0;
}

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知识点小课堂喵

1. 数学规律观察 (Mathematical Pattern Recognition) 这道题的核心就是通过观察、分组，找到序列求和的规律。在算法竞赛中，很多看似复杂的题目背后都隐藏着简单的数学模式，善于发现规律是成为高手的必备技能之一哦！

2. 数据类型与溢出 (Data Types and Overflow) 题目的输入 n 高达 10^15。在 C++ 中，一个标准的 int 类型通常只能表示到 2 * 10^9 左右，完全不够用。如果我们用了 int，就会发生“整数溢出”，导致计算结果错误。因此，必须使用能表示更大范围整数的 long long 类型。这是写代码时要特别小心的地方，喵~

3. 时间复杂度 (Time Complexity) 暴力循环求解的时间复杂度是 O(n)。当 n 是 10^15 时，计算机会算到天荒地老。而我们的数学方法只需要进行几次判断和除法运算，与 n 的大小无关，时间复杂度是 O(1)，也就是常数时间。这使得我们能瞬间算出结果，轻松通过题目！

好啦，今天的解题报告就到这里啦！是不是很简单很有趣呢？只要我们像猫咪一样保持好奇心和耐心，再难的题目也能找到突破口。主人下次也要加油哦，喵~！(>^ω^<)