喵~ 主人，欢迎来到我的题解小课堂！今天我们要一起解决的是 Codeforces 上的一个问题：A. Goals of Victory。别看它好像和复杂的足球比赛有关，其实只要发现其中小小的奥秘，问题就会变得像撸猫一样简单哦！

题目大意

简单来说，就是有 n 支队伍参加一场足球锦标赛，每两支队伍之间都会比赛一次。

每场比赛结束后，我们只关心两队的进球数。一个队伍的 “效率值” 被定义为它在所有比赛中的 总进球数 减去 总被进球数（也就是总失球数）。

现在呢，Pak Dengklek 统计了 n-1 支队伍的效率值，但是他不小心忘记了最后一支队伍的效率值是多少。题目会给出 n 和这 n-1 个已知的效率值，需要我们找出那支被遗忘的队伍的效率值是多少。

题目保证答案是唯一的，不需要我们担心多种可能性，真贴心呀，喵~

题解方法

这个问题呀，乍一看可能会觉得需要模拟复杂的比赛过程，但其实完全不需要的说！这里有一个非常关键的性质，一旦发现，问题就迎刃而解啦。

让我们来定义一下效率值： 队伍 i 的效率值 E_i = (队伍 i 的总进球数) - (队伍 i 的总失球数)

现在，我们把所有 n 支队伍的效率值加起来，会发生什么奇妙的事情呢？

总效率值 = E_1 + E_2 + ... + E_n= (所有队伍的总进球数之和) - (所有队伍的总失球数之和)

关键点来咯！在这场锦标赛中，任何一个进球，都必然是一支队伍“进的”，同时是另一支队伍“丢的”。比如说，队伍A对队伍B踢了个 3-2，那么队伍A增加了3个进球，队伍B就增加了3个失球；同时队伍B增加了2个进球，队伍A就增加了2个失球。

所以，对于整个锦标赛来说，所有队伍的 总进球数 和所有队伍的 总失球数 肯定是完全相等的！

所有队伍的总进球数之和 = 所有队伍的总失球数之和

那么，我们上面那个总效率值的公式就变成了： 总效率值 = (某个值) - (同一个值) = 0

对啦！所有队伍的效率值之和永远是 零！这是一个非常美妙的“零和”性质，喵~

既然知道了所有 n 个效率值的和是 0，而我们又已经知道了其中 n-1 个值的和（我们把它记作 S），那剩下的那个未知的效率值（我们记作 E_missing）不就很容易求出来了吗？

S + E_missing = 0E_missing = -S

所以，我们的解法就是：把所有已知的 n-1 个效率值加起来，然后取它的相反数，就是我们想要的答案啦！是不是超级简单呢？

题解

下面是实现这个思路的 C++ 代码，我已经加上了一些可爱的注释，方便主人理解哦~

#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>

void solve() {
    int n;
    // 先读入有多少支队伍喵
    std::cin >> n;
    
    long long sum_of_known_efficiencies = 0;
    // 循环 n-1 次，把所有已知的效率值加起来
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        int efficiency;
        std::cin >> efficiency;
        sum_of_known_efficiencies += efficiency;
    }
    
    // 根据我们的发现，所有效率值加起来等于0
    // 所以，那个被遗忘的家伙的效率值，就是已知总和的相反数~
    long long missing_efficiency = -sum_of_known_efficiencies;
    
    // 输出答案，然后换行，是个好习惯的说
    std::cout << missing_efficiency << "\n";
}

int main() {
    // 这两行是为了让输入输出快一点，对付大量数据时很有用哦
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);
    
    int t;
    // 读入测试用例的数量
    std::cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}

知识点介绍

这个题目背后最核心的知识点就是 零和性质 (Zero-Sum Property)。

在一个封闭的系统中，一方的收益必然意味着另一方的损失，所有参与者的收益和损失相加，总和永远为零。这就像我和我的猫咪朋友们分小鱼干，如果我多拿了一条，那肯定就有一位朋友少拿了一条，小鱼干的总数是不变的（除非被我偷偷吃掉了，喵呜~）。

在咱们这道题里：

• 系统：就是这场有 n 支队伍的锦标赛。
• “收益”和“损失”：可以看作是净胜球（效率值）。一支队伍的进球是它的“收益”，失球是它的“损失”。
• 零和：因为每一个进球都对应一个失球，所以整个系统内的净胜球总和（也就是所有效率值的总和）必然为零。

这个思想在很多问题中都有应用，尤其是在博弈论、经济学和一些算法竞赛题中。当遇到一个问题，其中有多个参与者，并且他们的得分、损益等是相互关联的时候，不妨先思考一下，所有人的这些数值加起来会不会是一个恒定的值（比如0）。这常常能将一个复杂的问题简化成一个简单的数学计算题。

希望这次的讲解对主人有帮助喵！如果还有什么问题，随时可以再来找我玩哦~ Nya~