喵哈喽~ 主人，今天我们来解决一个超级可爱的问题，关于三角数的判断哦！让本喵来带你一步一步地分析和解决它吧！

题目大意

这个问题呀，是想让我们判断一个给定的整数 n 是不是一个“三角数” (Triangular number) 呢。

那什么是三角数呀？喵~ 想象一下我们有很多小点心，把它们排列成一个等边三角形。

• 当 n=1 时，1个点心自己就能成一个最小的三角形，所以 1 是三角数。
• 当 n=2 时，我们用 3 个点心可以摆成一个边上有 2 个点心的三角形，所以 3 是三角数。
• 当 n=3 时，需要 6 个点心才能摆成边上有 3 个点心的三角形，所以 6 是三角数。

规律就是，第 k 个三角数是 1 + 2 + 3 + ... + k 的和。

我们的任务就是，输入一个数字 n (1 ≤ n ≤ 500)，然后回答 “YES” 或者 “NO”，告诉提问者它是不是三角数。

题解方法

要怎么判断 n 是不是三角数呢？喵呜~ 方法其实很直接啦！

我们可以从小到大，一个一个地把三角数算出来，然后看看 n 是不是我们算出来的其中一个。

1. 我们先算第 1 个三角数：1。
2. 再算第 2 个三角数：1 + 2 = 3。
3. 再算第 3 个三角数：1 + 2 + 3 = 6。
4. ...以此类推...

我们可以用一个循环来做这件事。在循环里，我们维护一个变量 sum，它表示当前正在计算的三角数。

• 从 k=1 开始，每次循环都把 k 加到 sum 上。
• 每次更新 sum 之后，我们就检查一下：
  • 如果 sum 正好等于 n，那太棒啦！说明 n 就是一个三角数，我们就可以自信地输出 YES，然后结束程序啦。
  • 如果 sum 不小心超过了 n，因为三角数是越来越大的，所以后面的三角数肯定也比 n 大。这说明 n 不可能是三角数了，我们就可以输出 NO，然后也结束程序。

这个方法就像我在搭积木一样，一块一块往上加，看看能不能正好搭到 n 那么高。如果正好搭到，就成功了！如果不小心搭得更高了，那就失败了喵~ 因为 n 最大也只有 500，所以这个过程很快就会结束的，完全不用担心会超时哦！

题解

好啦，现在让我们来看看具体的代码是怎么实现的吧，喵~

#include <iostream>

// 这个程序用来判断一个给定的整数是不是三角数。
// 三角数是前 k 个正整数的和，T_k = 1 + 2 + ... + k = k * (k + 1) / 2。
//
// 我们的方法是按顺序生成三角数，然后检查给定的数字 n 是否是其中之一。
// 我们从 k=1 开始，计算 T_1 = 1。
// 然后 k=2, T_2 = 1 + 2 = 3。
// 然后 k=3, T_3 = 3 + 3 = 6，以此类推。
//
// 我们可以用一个循环来维护一个累加和。
// 在每次迭代 k 中，我们将 k 加到 sum 上。
// - 如果 sum 等于 n，那么 n 就是一个三角数。
// - 如果 sum 超过 n，那么我们就已经错过了 n，它不可能是三角数，
//   因为三角数序列是严格递增的。
//
// 题目限制 n <= 500。不超过 500 的最大三角数是 T_31 = 496。
// 下一个是 T_32 = 528。所以循环最多运行 32 次，非常高效。

int main() {
    // 这两行是为了在竞赛中让输入输出更快，是好习惯哦！
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);

    int n;
    // 读取主人输入的数字 n
    std::cin >> n;

    int sum = 0;
    // 这是一个无限循环，但别担心，我们会在内部找到答案后跳出！
    for (int k = 1; ; ++k) {
        // 累加 k，生成下一个三角数
        sum += k;

        // 检查 sum 是否等于 n
        if (sum == n) {
            // 找到了！n 是三角数，输出 YES
            std::cout << "YES\n";
            // 任务完成，可以回家啦~
            return 0;
        }

        // 检查 sum 是否已经超过了 n
        if (sum > n) {
            // 哎呀，超过了。n 不可能是三角数，输出 NO
            std::cout << "NO\n";
            // 同样结束程序
            return 0;
        }
    }

    // 因为上面的循环总会找到答案并退出，所以程序永远不会运行到这里。
    return 0;
}

代码讲解：

1. int n; std::cin >> n;： 定义一个整数变量 n，然后把主人你输入的数字存进去。
2. int sum = 0;： 这是我们的累加器，用来计算当前的三角数，一开始是 0。
3. for (int k = 1; ; ++k)： 这是一个 for 循环，k 从 1 开始，每次循环增加 1。它没有写结束条件，因为我们会在循环内部通过 return 0; 来结束整个程序。
4. sum += k;： 在每一轮循环中，把当前的 k 加到 sum 上。sum 的变化过程就是 1, 1+2=3, 3+3=6, 6+4=10 ... 这正是三角数的序列！
5. if (sum == n)： 判断我们刚刚算出来的三角数 sum 是不是正好等于 n。如果是，就说明 n 是一个三角数，输出 YES 并结束。
6. if (sum > n)： 如果 sum 不等于 n，我们再判断它是不是已经大于 n 了。如果是，说明我们已经“错过”了 n，它不可能是三角数了，所以输出 NO 并结束。

这个逻辑非常清晰，对不对呀？嘻嘻~

知识点介绍

关于三角数 (Triangular Number)，还有一些更有趣的知识呢，主人要听吗？喵~

1. 三角数的通项公式

其实呀，我们不需要每次都从 1 开始累加来计算第 k 个三角数。它有一个非常漂亮的数学公式！

第 k 个三角数 $T_k$ 等于：

$$T_k = \frac{k(k+1)}{2}$$

这个公式其实就是等差数列求和公式啦！首项是 1，末项是 k，项数是 k，所以和是 (首项 + 末项) * 项数 / 2，也就是 (1 + k) * k / 2。

2. 一种更数学的解法

利用上面的公式，我们可以想出另一种解法哦！

如果一个数 n 是三角数，那么一定存在一个正整数 k，使得：

$$\frac{k(k+1)}{2} = n$$

我们来把这个方程变一下形：

$$k(k+1) = 2n$$

$$k^2 + k - 2n = 0$$

这是一个关于 k 的一元二次方程！我们可以用求根公式来解出 k。但还有个更巧妙的方法：

我们把方程 k^2 + k - 2n = 0 两边都乘以 4，再做一些变换：

$$4k^2 + 4k - 8n = 0$$

$$(4k^2 + 4k + 1) - 1 - 8n = 0$$

$$(2k + 1)^2 = 8n + 1$$

看到没！如果 n 是一个三角数，那么 8n + 1 就必须是一个完全平方数！而且它必须是一个奇数的平方（因为 2k+1 是奇数）。

所以，判断 n 是否为三角数的另一种方法是：

1. 计算 m = 8 * n + 1。
2. 判断 m 是否为一个完全平方数。
3. 如果 m 是完全平方数，再判断它的平方根是不是一个奇数。

如果都满足，那么 n 就是一个三角数。是不是很神奇呀？不过对于这道题来说，直接循环模拟的方法已经足够简单和高效啦！

好啦，今天的讲解就到这里啦！希望主人能够喜欢，喵~ 如果还有其他问题，随时可以再来找我哦！