F. Goodbye, Banker Life - 题解

比赛与标签

比赛: Codeforces Round 1006 (Div. 3) 标签: 2-sat, bitmasks, combinatorics, constructive algorithms, fft, math, number theory 难度: *1700

题目大意喵~

主人，我们的任务是帮助 Akito 构建一个魔法护盾！这个护盾需要一个特殊的咒语，也就是一个“伟大魔法三角形”的第 n 行。

这个三角形是这样生成的：

第一行只有一个数字，就是 k。
第 i 行有 i 个数字。
我们把第 i 行第 j 个数记作 T[i][j]。它的生成规则是：
- T[i][1] = T[i-1][1] (最左边的数直接继承)
- T[i][i] = T[i-1][i-1] (最右边的数也直接继承)
- T[i][j] = T[i-1][j-1] ⊕ T[i-1][j] (中间的数是它正上方两个数的异或和，⊕ 就是 XOR 啦)

我们需要根据给定的 n 和 k，计算出这个三角形第 n 行的所有数字。

解题思路大揭秘！ฅ'ω'ฅ

刚看到这个规则，是不是感觉和杨辉三角（Pascal's Triangle）很像呀？杨辉三角是 C(i,j) = C(i-1,j-1) + C(i-1,j)，而我们这里是把加法换成了异或（XOR）运算。这可是一个非常重要的线索哦！

在杨辉三角中，第 i 行第 j 个数（从0开始计数）是组合数 C(i, j)。由于我们的规则和它如此相似，我们可以大胆猜测，这个魔法三角形的元素也和组合数有关。

因为所有数字都是从第一行的 k 通过异或运算得到的，所以第 n 行的每个数，要么是 k，要么是 0。它到底是什么，取决于 k 在这个计算过程中被异或了奇数次还是偶数次。

如果 k 被异或了奇数次，结果就是 k。
如果 k 被异或了偶数次，结果就是 0 (因为 k ⊕ k = 0)。

k 被异或的次数，正好对应着杨辉三角中第 n-1 行的组合数 C(n-1, j-1)（注意行列号从1开始，组合数从0开始）。所以，问题就变成了： T[n][j] 的值是 k 当且仅当 C(n-1, j-1) 是奇数；否则是 0。

那么，我们怎么判断 C(n, k) 的奇偶性呢？这里就要请出我们的好朋友——**卢卡斯定理（Lucas's Theorem）**的一个重要推论了：

C(n, k) 是奇数，当且仅当 (k & n) == k。这里的 & 是按位与运算。这个式子意味着，在二进制表示下，k 的所有为 1 的位，在 n 的对应位上也必须是 1。

所以，我们的任务就转化为了：生成一个长度为 n 的序列，其中第 j 个数（1 <= j <= n）根据 C(n-1, j-1) 的奇偶性来决定是 k 还是 0。

直接计算每个组合数太慢啦，我们得找个更快的办法。这个 C(n, k) mod 2 形成的三角形（也叫谢尔宾斯基三角形）具有非常漂亮的分形结构！我们可以利用这个结构进行递归构造。

设 S(m) 是 C(m, 0), C(m, 1), ..., C(m, m) 模2后的序列。

基础情况:
- S(0) = [1]
- S(1) = [1, 1]
递归构造: 对于任意的 m，我们找到不大于 m 的最大2的幂次方，记作 p = 2^w。令 m = p + y。神奇的事情发生了！S(m) 可以由更小的 S(y) 构造出来！ S(m) 的结构是：[S(y)] 后面跟着一堆 0，然后再跟着一个 [S(y)]。 S(m) = [S(y)] [一串0] [S(y)] 中间这串 0 有多少个呢？S(m) 总长 m+1，S(y) 长 y+1。所以 0 的个数是 (m+1) - 2 * (y+1) = m - 2y - 1 = (p+y) - 2y - 1 = p - y - 1 个。
特殊情况: 如果 m 本身就是2的幂次方，即 m = p = 2^w，那么 y=0。S(0) = [1]。此时 S(m) = [S(0)] [p - 0 - 1 个 0] [S(0)]，也就是 [1, 0, 0, ..., 0, 1]，两端是1，中间 m-1 个全是0。

这不就是代码里的递归逻辑嘛！我们只需要写一个函数 work(m) 来生成 S(m) 对应的 k 和 0 序列，然后用 n-1 来调用它就可以啦！

代码实现喵！

cpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    // 喵~ 加速输入输出，让程序跑得飞快！
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n, k;
        cin >> n >> k;

        // 使用 ostringstream 来拼接字符串，比多次 cout 快很多哦！
        ostringstream oss;

        // 递归函数 work(x) 用来生成第 x 行的谢尔宾斯基三角形序列
        // x 对应我们分析中的 m = n-1
        function<void(int)> work = [&](int x) {
            if (x == 0) {
                // 基础情况: S(0) = [1]，对应输出 k
                oss << k << " ";
            } else if (x == 1) {
                // 基础情况: S(1) = [1, 1]，对应输出 k k
                oss << k << " " << k << " ";
            } else {
                // 找到不大于 x 的最大2的幂 p = 2^w
                // __builtin_clz(x) 计算前导零的数量，31 - clz(x) 就能得到最高位的索引 w
                int w = 31 - __builtin_clz(x);
                int power_of_two = 1 << w;

                if (x == power_of_two) {
                    // 特殊情况：x 是 2 的幂次方，S(x) = [1, 0, ..., 0, 1]
                    oss << k << " "; // 第一个 k
                    for (int i = 0; i < x - 1; i++) {
                        oss << 0 << " "; // 中间的 x-1 个 0
                    }
                    oss << k << " "; // 最后一个 k
                } else {
                    // 递归构造：x = p + y
                    int y = x - power_of_two;
                    // 先构造 S(y)
                    work(y);
                    // 中间填充 p - y - 1 个 0
                    for (int i = 0; i < power_of_two - y - 1; i++) {
                        oss << 0 << " ";
                    }
                    // 再次构造 S(y)
                    work(y);
                }
            }
        };

        // 我们需要的是第 n 行，对应组合数 C(n-1, j-1)，所以调用 work(n-1)
        work(n - 1);

        // 将 ostringstream 中的内容转为 string
        string s = oss.str();
        // 去掉末尾多余的空格
        if (!s.empty()) {
            s.pop_back();
        }
        cout << s << '\n';
    }
    return 0;
}

复杂度分析的说

时间复杂度: O(Σn) 的说整个算法的核心是递归函数 work。虽然它在递归，但它本质上是在构造一个长度为 n 的输出序列。每个数字（k或0）都只被访问和生成一次。因为题目保证了所有测试用例的 n 的总和不超过 10^6，所以总的时间复杂度就是 O(sum of n)。非常高效呐！
空间复杂度: O(max(n)) 的说空间主要消耗在两个地方：递归调用栈和 ostringstream。递归深度最多是 O(log n)，很小。而 ostringstream 需要存储一整个测试用例的输出，其大小与该测试用例的 n 成正比。因此，空间复杂度由单个测试用例中最大的 n 决定，即 O(max(n))。

知识点与总结喵~

这道题真是太有趣啦，它把组合数学和分形几何巧妙地结合在了一起！

核心思想: 将问题从一个自定义的异或三角转化为了经典的**杨辉三角模2（谢尔宾斯基三角形）**问题。这是解题的关键一步！
数学原理: 卢卡斯定理的推论 C(n, k) % 2 == 1 <=> (k & n) == k 是背后坚实的数学支撑，它揭示了组合数奇偶性与二进制位之间的关系。
算法技巧: 我们没有暴力计算，而是利用了谢尔宾斯基三角形的分形/递归性质，实现了分治求解。这种思想在处理与位运算和2的幂相关的序列问题时非常有用。
编程实践:
- __builtin_clz() 是一个GCC/Clang内建函数，可以高效地计算前导零数量，是快速找到最高有效位的利器。
- 对于有大量输出的题目，使用 ostringstream 或者手动拼接字符串再统一输出，是避免因I/O耗时过长而超时的常用优化手段。

希望这次的讲解能帮助到你哦！只要我们善于观察，找到问题的本质，再复杂的魔法也能被我们破解的说！下次再一起解题吧，喵~ (ฅ´ω`ฅ)

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